题目

在杨氏实验装置中，光源波长为 640 , (nm)，两狭缝间距 d 为 0.4 , (mm)，光屏离狭缝的距离 r_0 为 50 , (cm)。试求：(1) 光屏上第 1 级亮条纹和中央亮条纹之间的距离；(2) 若 P 点离中央亮条纹为 0.1 , (mm)，问两束光在 P 点的相位差是多少？(3) 求 P 点的光强度和中央点的强度之比。

在杨氏实验装置中，光源波长为 $640 \, \text{nm}$，两狭缝间距 $d$ 为 $0.4 \, \text{mm}$，光屏离狭缝的距离 $r_0$ 为 $50 \, \text{cm}$。试求：(1) 光屏上第 1 级亮条纹和中央亮条纹之间的距离；(2) 若 $P$ 点离中央亮条纹为 $0.1 \, \text{mm}$，问两束光在 $P$ 点的相位差是多少？(3) 求 $P$ 点的光强度和中央点的强度之比。

题目解答

答案

1. 根据 $ y_m = \frac{m \lambda L}{d} $，第1级亮条纹位置为： \[ y_1 = \frac{1 \times 640 \times 10^{-9} \times 0.5}{0.4 \times 10^{-3}} = 0.8 \, \text{mm} \] 2. P点光程差为： \[ \Delta x = \frac{d y}{L} = \frac{0.4 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 10^{-3}}{0.5} = 8 \times 10^{-8} \, \text{m} \] 相位差为： \[ \Delta \phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda} = \frac{2\pi \times 8 \times 10^{-8}}{640 \times 10^{-9}} = 0.25\pi \] 3. P点光强与中央点光强之比为： \[ \frac{I_P}{I_0'} = \frac{(2 + \sqrt{2}) I_0}{4 I_0} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \] 最终结果： 1. $ y_1 = 0.8 \, \text{mm} $。 2. $ \Delta \phi = 0.25\pi $。 3. $ \frac{I_P}{I_0'} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} $。

解析

本题主要考察杨氏双缝干涉实验的相关知识，包括亮条纹位置的计算、光程差与相位差的关系以及光强度的计算。解题思路如下：

  1. 计算光屏上第 1 级亮条纹和中央亮条纹之间的距离：
    • 对于杨氏双缝干涉实验，第 $m$ 级亮条纹到中央亮条纹的距离公式为 $y_m = \frac{m \lambda L}{d}$，其中 $\lambda$ 是光源波长，$L$ 是光屏离狭缝的距离，$d$ 是两狭缝间距，$m$ 是亮条纹的级数。
    • 已知 $\lambda = 640 \, \text{nm} = 640\times 10^{-9} \, \text{m}$，$d = 0.4 \, \text{mm} = 0.4\times 10^{-3} \, \text{m}$，$L = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}$，$m = 1$，将这些值代入公式可得：
      $\begin{align*}y_1&=\frac{1\times 640\times 10^{-9} \times 0.5}{0.4\times 10^{-3}}\\&=\frac{320\times 10^{-9}}{0.4\times 10^{-3}}\\&=\frac{320}{0.4}\times 10^{-6}\\&= 800\times 10^{-6} \, \text{m}\\&= 0.8 \, \text{mm}\end{align*}$
  2. 计算两束光在 $P$ 点的相位差：
    • 首先，根据光程差公式 $\Delta x = \frac{d y}{L}$ 计算 $P$ 点的光程差，其中 $y$ 是 $P$ 点离中央亮条纹的距离。
    • 已知 $d = 0.4\times 10^{-3} \, \text{m}$，$y = 0.1 \, \text{mm} = 0.1\times 10^{-3} \, \text{m}$，$L = 0.5 \, \text{m}$，将这些值代入公式可得：
      $\begin{align*}\Delta x&=\frac{0.4\times 10^{-3} \times 0.1\times 10^{-3}}{0.5}\\&=\frac{0.04\times 10^{-6}}{0.5}\\&= 0.08\times 10^{-6} \, \text{m}\\&= 8\times 10^{-8} \, \text{m}\end{align*}$
    • 然后，根据相位差与光程差的关系 $\Delta \phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda}$ 计算相位差，将 $\Delta x = 8\times 10^{-8} \, \text{m}$，$\lambda = 640\times 10^{-9} \, \text{m}$ 代入公式可得：
      $\begin{align*}\Delta \phi&=\frac{2\pi \times 8\times 10^{-8}}{640\times 10^{-9}}\\&=\frac{16\pi\times 10^{-8}}{640\times 10^{-9}}\\&=\frac{16\pi}{640}\times 10\\&= 0.25\pi\end{align*}$
  3. 计算 $P$ 点的光强度和中央点的强度之比：
    • 设两束光的振幅均为 $A_0$，中央亮条纹处两束光同相叠加，合振幅 $A_0' = 2A_0$，光强度 $I_0' = (2A_0)^2 = 4A_0^2$。
    • $P$ 点的合振幅 $A_P$ 根据公式 $A_P^2 = A_0^2 + A_0^2 + 2A_0^2\cos\Delta\phi$ 计算，将 $\Delta \phi = 0.25\pi$ 代入可得：
      $\begin{align*}A_P^2&=A_0^2 + A_0^2 + 2A_0^2\cos(0.25\pi)\\&= 2A_0^2 + 2A_0^2\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\&= 2A_0^2 + \sqrt{2}A_0^2\\&= (2 + \sqrt{2})A_0^2\end{align*}$
    • 则 $P$ 点的光强度 $I_P = A_P^2 = (2 + \sqrt{2})A_0^2$。
    • 所以 $P$ 点光强与中央点光强之比为：
      $\frac{I_P}{I_0'} = \frac{(2 + \sqrt{2})A_0^2}{4A_0^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$