题目
有一质量为M、长度为l的均匀细棒，其一端固结一个质量也为M的小球，可绕通过另一端且垂直于细棒的水平光滑固定轴自由转动，最初棒自然下垂，现有一质量为m的子弹，在垂直于轴的平面内以水平速度overline v射穿小球，子弹穿过小球时速度减为(1)/(2)v，要使棒能绕轴作完整的一周转动，子弹入射时的速率至少必须为多大？
有一质量为M、长度为$$l$$的均匀细棒，其一端固结一个质量也为M的小球，可绕通过另一端且垂直于细棒的水平光滑固定轴自由转动，最初棒自然下垂，现有一质量为m的子弹，在垂直于轴的平面内以水平速度$$\overline v$$射穿小球，子弹穿过小球时速度减为$$\frac{1}{2}v$$，要使棒能绕轴作完整的一周转动，子弹入射时的速率至少必须为多大？
题目解答
答案
球需初动能：$$E_k=\frac{1}{2}\cdot 2M\cdot v_1^2$$$$=\frac{1}{2}\cdot 2M\cdot g\frac{3}{4}l+2Mg\cdot \frac{3}{4}l$$
解得：$$v_1=\frac{3}{2}\sqrt{gl}$$
由动量定理：$$m\overline v=m\cdot \frac{1}{2}v+2M\cdot \frac{3}{2}\sqrt{gl}$$
解得：$$\overline v=\frac{1}{2}v+\frac{3M\sqrt{gl}}{m}$$
解析
步骤 1：确定棒和小球绕轴转动的动能需求
棒和小球绕轴转动时，要完成一个完整的圆周运动，需要克服重力势能。当棒和小球到达最高点时，其重力势能为$$2Mgl$$，其中$$M$$是小球的质量，$$g$$是重力加速度，$$l$$是棒的长度。由于棒和小球在最低点时动能全部转化为最高点的重力势能，因此，棒和小球在最低点时的动能至少为$$2Mgl$$。
步骤 2：计算棒和小球在最低点时的动能
棒和小球在最低点时的动能为$$E_k=\frac{1}{2}\cdot 2M\cdot v_1^2$$，其中$$v_1$$是棒和小球在最低点时的速度。根据能量守恒定律，棒和小球在最低点时的动能等于最高点的重力势能，即$$E_k=2Mgl$$。因此，可以得到$$v_1=\sqrt{2gl}$$。
步骤 3：应用动量守恒定律计算子弹的入射速度
子弹射穿小球时，子弹和小球组成的系统动量守恒。设子弹的入射速度为$$\overline v$$，子弹穿过小球后的速度为$$\frac{1}{2}v$$，小球的速度为$$v_1$$。根据动量守恒定律，有$$m\overline v=m\cdot \frac{1}{2}v+2M\cdot v_1$$。将$$v_1=\sqrt{2gl}$$代入上式，可以得到子弹的入射速度$$\overline v$$。
棒和小球绕轴转动时，要完成一个完整的圆周运动，需要克服重力势能。当棒和小球到达最高点时，其重力势能为$$2Mgl$$，其中$$M$$是小球的质量，$$g$$是重力加速度，$$l$$是棒的长度。由于棒和小球在最低点时动能全部转化为最高点的重力势能，因此，棒和小球在最低点时的动能至少为$$2Mgl$$。
步骤 2：计算棒和小球在最低点时的动能
棒和小球在最低点时的动能为$$E_k=\frac{1}{2}\cdot 2M\cdot v_1^2$$，其中$$v_1$$是棒和小球在最低点时的速度。根据能量守恒定律，棒和小球在最低点时的动能等于最高点的重力势能，即$$E_k=2Mgl$$。因此，可以得到$$v_1=\sqrt{2gl}$$。
步骤 3：应用动量守恒定律计算子弹的入射速度
子弹射穿小球时，子弹和小球组成的系统动量守恒。设子弹的入射速度为$$\overline v$$，子弹穿过小球后的速度为$$\frac{1}{2}v$$，小球的速度为$$v_1$$。根据动量守恒定律，有$$m\overline v=m\cdot \frac{1}{2}v+2M\cdot v_1$$。将$$v_1=\sqrt{2gl}$$代入上式，可以得到子弹的入射速度$$\overline v$$。