填空题（共5题，35.0分）13.（5.0分）设D：|x|+|y|≤1，则iintlimits_(D)45x^2y^2dsigma=____.

为了计算二重积分 $\iint\limits_{D} 45x^2y^2 \, d\sigma$，其中 $D$ 是由 $|x| + |y| \leq 1$ 定义的区域，我们可以利用区域 $D$ 的对称性。区域 $D$ 是一个以原点为中心的菱形，其顶点位于 $(\pm 1, 0)$ 和 $(0, \pm 1)$。 由于被积函数 $45x^2y^2$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的偶函数，我们可以在第一象限计算积分，然后将结果乘以4。在第一象限中，区域 $D$ 由 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1 - x$ 定义。 因此，积分可以写为： \[ \iint\limits_{D} 45x^2y^2 \, d\sigma = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} 45x^2y^2 \, dy \, dx. \] 首先，我们关于 $y$ 进行积分： \[ \int_{0}^{1-x} 45x^2y^2 \, dy = 45x^2 \int_{0}^{1-x} y^2 \, dy = 45x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1-x} = 45x^2 \cdot \frac{(1-x)^3}{3} = 15x^2 (1-x)^3. \] 接下来，我们关于 $x$ 进行积分： \[ 4 \int_{0}^{1} 15x^2 (1-x)^3 \, dx = 60 \int_{0}^{1} x^2 (1-x)^3 \, dx. \] 为了计算 $\int_{0}^{1} x^2 (1-x)^3 \, dx$，我们可以使用分部积分法或二项式展开。这里，我们使用二项式展开： \[ (1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3. \] 因此， \[ x^2 (1-x)^3 = x^2 (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5. \] 所以， \[ 60 \int_{0}^{1} (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) \, dx = 60 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^4}{4} + \frac{3x^5}{5} - \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{1} = 60 \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} \right). \] 现在，我们需要找到括号内表达式的值： \[ \frac{1}{3} = \frac{20}{60}, \quad \frac{3}{4} = \frac{45}{60}, \quad \frac{3}{5} = \frac{36}{60}, \quad \frac{1}{6} = \frac{10}{60}. \] 因此， \[ \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} = \frac{20}{60} - \frac{45}{60} + \frac{36}{60} - \frac{10}{60} = \frac{1}{60}. \] 所以， \[ 60 \left( \frac{1}{60} \right) = 1. \] 因此，积分的值是： \[ \boxed{1}. \]