11.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为 varphi (x)=dfrac (1)(sqrt {a)}cos dfrac (3pi x)(2a)(-aleqslant xleqslant -|||-a),那么粒子在 =dfrac (5)(6)a 处出现的概率密度是 () 。-|||-(A) dfrac (1)((2a)) (B) dfrac (1)(a) (C) dfrac (1)(sqrt {2a)} (D) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_1b0b1a576024aef7c4a663c720eb1cca.jpg/sqrt (a)

本题考查一维矩形无限深势阱中粒子的概率密度计算，关键是明确概率密度的定义：波函数模的平方$|\varphi(x)|^2$。

步骤1：写出波函数表达式

题目给出的波函数为：
$\varphi(x)=\)=\frac{1}{\sqrt{a}}\cos\left(\frac{3\pi x}{2a}\right)\quad (-a\leqslant x\leqslant a)$

步骤2：计算概率密度$|\varphi(x)|^2$

概率密度定义为波函数模的平方，对于实函数$\varphi(x)$，即$|\varphi(x)|^2=[\varphi(x)]^2$：
$|\varphi(x)|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\cos\left(\frac{3\pi x}{2a}\right)\right)^2=\frac{1}{a}\cos^2\left(\frac{3\pi x}{2a}\right)$

步骤3：代入$x=\frac{5}{6}a$计算

将$x=\frac{5}{6}a$代入余弦函数：
$\frac{3\pi x}{2a}=\frac{3\pi}{2a}\cdot\frac{5}{6}a=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\pi}{4}$
根据三角函数诱导公式$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，故：
$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$

步骤4：计算最终概率密度

代入概率密度公式：
$|\varphi\left(\frac{5}{6}a\right)|^2=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2a}$