题目

(2)已知函数f(x)=int_(0)^sin xsin t^2dt,g(x)=int_(0)^sin xf(t)dt,则（） (A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.

(2)已知函数$f(x)=\int_{0}^{\sin x}\sin t^{2}dt$,g(x)=$\int_{0}^{\sin x}f(t)dt$,则（） (
A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (
B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (
C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (
D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.

题目解答

答案

为了确定函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的奇偶性，我们需要分别分析它们的性质。 ### 步骤1：分析 $ f(x) $ 的奇偶性 函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt \] 首先，考虑 $ f(-x) $： \[ f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt \] 由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以： \[ f(-x) = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt \] 为了简化这个积分，我们使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为： \[ f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (-u)^2 \, (-du) \] 由于 $ \sin (-u)^2 = \sin u^2 $，所以： \[ f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, (-du) = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du \] \[ f(-x) = -f(x) \] 因此， $ f(x) $ 是奇函数。 ### 步骤2：分析 $ g(x) $ 的奇偶性 函数 $ g(x) $ 定义为： \[ g(x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt \] 首先，考虑 $ g(-x) $： \[ g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt \] 由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以： \[ g(-x) = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt \] 同样，我们使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为： \[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \, (-du) \] 由于 $ f(u) $ 是奇函数，所以 $ f(-u) = -f(u) $。因此： \[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} (-f(u)) \, (-du) \] \[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du \] \[ g(-x) = g(x) \] 因此， $ g(x) $ 是偶函数。 ### 结论 根据以上分析， $ f(x) $ 是奇函数， $ g(x) $ 是偶函数。因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数奇偶性的判断，涉及变上限积分的性质及变量替换技巧。

解题核心思路：

  1. 判断$f(x)$的奇偶性：通过计算$f(-x)$，结合积分变量替换，分析其与$f(x)$的关系。
  2. 判断$g(x)$的奇偶性：利用$f(x)$的奇偶性，再次通过变量替换，分析$g(-x)$与$g(x)$的关系。

破题关键点：

  • 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$。
  • 偶函数定义：$f(-x) = f(x)$。
  • 积分变量替换：通过调整积分上下限和变量符号，简化表达式。

分析$f(x)$的奇偶性

  1. 计算$f(-x)$：
    $f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt$

  2. 变量替换：令$u = -t$，则$du = -dt$，积分上下限变为$u: 0 \to \sin x$：
    $f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin(-u)^2 \cdot (-du) = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du = -f(x)$

  3. 结论：$f(-x) = -f(x)$，故$f(x)$是奇函数。

分析$g(x)$的奇偶性

  1. 计算$g(-x)$：
    $g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt$

  2. 变量替换：令$u = -t$，则$du = -dt$，积分上下限变为$u: 0 \to \sin x$：
    $g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \cdot (-du) = \int_{0}^{\sin x} (-f(u)) \cdot (-du) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du = g(x)$

  3. 结论：$g(-x) = g(x)$，故$g(x)$是偶函数。