【填空题】一个以恒定角加速度转动的圆盘,如果在某一时刻的角速度为 ω 1 = 20 π rad/s ,再转 60 转后角速度为 ω 2 = 30 π rad/s ,则角加速度 α =__________ rad /s 2 , 转过上述 60 转所需的时间 Δ t = ___________s 。 (3.0分)

本题考查刚体定轴转动的运动学公式，解题思路是先根据匀变速转动的运动学公式求出角加速度，再根据角速度与角加速度的关系求出转过指定圈数所需的时间。

1. 求角加速度$\alpha$

已知圆盘做匀变速转动，根据匀变速转动的运动学公式$\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}=2\alpha\theta$（其中$\omega_{1}$、$\omega_{2}$分别为初、末角速度，$\alpha$为角加速度，$\theta$为角位移）。

• 首先将转数转化为角位移，因为转$1$转的角位移为$2\pi$，所以转$60$转的角位移$\theta = 60\times2\pi = 120\pi$ $rad$。
• 已知$\omega_{1} = 20\pi$ $rad/s$，$\omega_{2} = 30\pi$ $rad/s$，将$\omega_{1}$、$\omega_{2}$和$\theta$代入公式$\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}=2\alpha\theta$可得：
  $(30\pi)^{2}-(20\pi)^{2}=2\alpha\times120\pi$
• 化简等式左边：
  $(30\pi)^{2}-(20\pi)^{2}=(30\pi + 20\pi)(30\pi - 20\pi)=50\pi\times10\pi = 500\pi^{2}$
• 则原方程变为$500\pi^{2}=2\alpha\times120\pi$，两边同时除以$240\pi$，解得：
  $\alpha=\frac{500\pi^{2}}{240\pi}=\frac{25\pi}{12}$ $rad/s^{2}$

2. 求转过$60$转所需的时间$\Delta t$

根据匀变速转动的运动学公式$\omega_{2}=\omega_{1}+\alpha\Delta t$（其中$\omega_{1}$、$\omega_{2}$分别为初、末角速度，$\alpha$为角加速度，$\Delta t$为时间）。

• 已知$\omega_{1} = 20\pi$ $rad/s$，$\omega_{2} = 30\pi$ $rad/s$，$\alpha=\frac{25\pi}{12}$ $rad/s^{2}$，将其代入公式可得：
  $30\pi = 20\pi+\frac{25\pi}{12}\Delta t$
• 移项可得：
  $\frac{25\pi}{12}\Delta t = 30\pi - 20\pi = 10\pi$
• 两边同时除以$\frac{25\pi}{12}$，解得：
  $\Delta t=\frac{10\pi}{\frac{25\pi}{12}} = 10\pi\times\frac{12}{25\pi}=4.8$ $s$