2. (5.0分) 函数f(z)=overline(z)在z=0处A. 不可导但解析B. 可导但不解析C. 解析D. 不可导

考查要点：本题主要考查复变函数中可导性与解析性的概念，以及柯西-黎曼方程的应用。

解题核心思路：

1. 可导性：复变函数在某点可导的充要条件是满足柯西-黎曼方程，且偏导数连续。
2. 解析性：函数在某点解析要求在该点的某个邻域内处处可导。
3. 共轭函数特性：函数$f(z)=\overline{z}$的导数存在性需要通过极限定义或柯西-黎曼方程判断。

破题关键点：

• 直接计算导数：通过极限定义验证$f(z)=\overline{z}$在$z=0$处的导数是否存在。
• 路径依赖性：若沿不同路径趋近于$0$时极限值不同，则导数不存在。

步骤1：写出函数表达式

设$z=x+iy$，则$f(z)=\overline{z}=x-iy$。

步骤2：计算导数的定义式

在$z=0$处，导数定义为：
$f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(0+\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}.$

步骤3：沿不同路径趋近于0

• 沿实轴趋近：令$\Delta z = \Delta x + i \cdot 0$，则$\overline{\Delta z} = \Delta x$，比值为$\frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$。
• 沿虚轴趋近：令$\Delta z = i \Delta y$，则$\overline{\Delta z} = -i \Delta y$，比值为$\frac{-i \Delta y}{i \Delta y} = -1$。

步骤4：判断极限存在性

由于沿不同路径趋近时极限值不同（$1 \neq -1$），极限不存在，因此$f(z)$在$z=0$处不可导。

步骤5：分析解析性

即使某点可导，解析性还需邻域内处处可导。但本题中导数本身不存在，故更不可能解析。