题目

在弦线上有一简谐波，其表达式是 y_1 = 2.0 times 10^-2 cos [2pi ((t)/(0.02) - (x)/(20)) + (pi)/(3)] (SI)，为了在此弦线上形成驻波，并且在 x=0 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：A y_2 = 2.0 times 10^-2 cos [2pi ((t)/(0.02) + (x)/(20)) - (pi)/(3)] (SI)B y_2 = 2.0 times 10^-2 cos [2pi ((t)/(0.02) + (x)/(20)) + (4pi)/(3)] (SI)C y_2 = 2.0 times 10^-2 cos [2pi ((t)/(0.02) + (x)/(20)) + (pi)/(3)] (SI)D y_2 = 2.0 times 10^-2 cos [2pi ((t)/(0.02) + (x)/(20)) + (2pi)/(3)] (SI)

在弦线上有一简谐波，其表达式是 $y_1 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} - \frac{x}{20}) + \frac{\pi}{3}]$ (SI)，为了在此弦线上形成驻波，并且在 $x=0$ 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：

A $y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) - \frac{\pi}{3}]$ (SI)

B $y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) + \frac{4\pi}{3}]$ (SI)

C $y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) + \frac{\pi}{3}]$ (SI)

D $y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) + \frac{2\pi}{3}]$ (SI)

题目解答

答案

已知 $ y_1 = 2.0 \times 10^{-2} \cos \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.02} - \frac{x}{20} \right) + \frac{\pi}{3} \right] $，为形成驻波，需 $ y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.02} + \frac{x}{20} \right) + \phi' \right] $。 由 $ x = 0 $ 处为波节，得 $ \cos\left( \frac{\phi - \phi'}{2} \right) = 0 $，即 $ \phi' = \phi \pm \pi $。 取 $ \phi' = \frac{4\pi}{3} $，得： \[ y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.02} + \frac{x}{20} \right) + \frac{4\pi}{3} \right] \] 故正确答案为 B。 答案：B. $ y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.02} + \frac{x}{20} \right) + \frac{4\pi}{3} \right] \, (SI) $

解析

本题考查简谐波形成驻波的条件以及波节的性质。解题的关键在于明确形成驻波时两列波的特点，以及波节处两列波相位差的关系。

  1. 确定形成驻波的波的表达式形式：
    • 已知弦线上已有简谐波表达式为$y_1 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} - \frac{x}{20}) + \frac{\pi}{3}]$，要形成驻波，另一列简谐波$y_2$的传播方向应与$y_1$相反，且振幅、频率、周期等参数应相同。
    • 所以$y_2$的表达式形式为$y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) + \phi']$，其中$\phi'$为$y_2$的初相位。
  2. 根据波节条件确定$\phi'$：
    • 两列波叠加形成驻波时，波节处两列波的相位差满足$\Delta\varphi=(2k + 1)\pi$，$k = 0, \pm1, \pm2, \cdots$。
    • 在$x = 0$处，$y_1$的相位为$\varphi_1 = 2\pi\times\frac{t}{0.02}+\frac{\pi}{3}$，$y_2$的相位为$\varphi_2 = 2\pi\times\frac{t}{0.02}+\phi'$。
    • 则相位差$\Delta\varphi=\varphi_2 - \varphi_1=\phi' - \frac{\pi}{3}=(2k + 1)\pi$。
    • 移项可得$\phi'=\frac{\pi}{3}+(2k + 1)\pi$。
    • 当$k = 0$时，$\phi'=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}$。
  3. 得出$y_2$的表达式：
    • 将$\phi' = \frac{4\pi}{3}$代入$y_2$的表达式中，得到$y_2 = 2.0 \times 10^{-2} \cos [2\pi (\frac{t}{0.02} + \frac{x}{20}) + \frac{4\pi}{3}]$。