一个用于位移测量的电容式传感器,两个极板是边长为5cm的正方形,间距为1mm,气隙中恰好放置一个边长5cm、厚度1mm、相对介电常数为4的正方形介质板,该介质板可在气隙中自由滑动。试计算当输入位移(即介质板向某一方向移出极板相互覆盖部分的距离)分别为0.0cm、2.5cm、5.0cm时,该传感器的输出电容值各为多少?

本题考查电容式传感器在不同位移下的电容计算，核心在于理解介质分布对电容的影响。关键点如下：

1. 电容公式：$C = \dfrac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d}$，其中$A$为有效面积，$d$为极板间距，$\varepsilon_r$为相对介电常数。
2. 位移影响：当介质板部分移出时，极板间形成并联电容结构（介质部分与空气部分）。
3. 临界情况：介质完全移出时，电容仅由空气决定。

当输入位移为0.0cm时

• 介质完全填充：极板间全为相对介电常数$\varepsilon_r=4$的介质。
• 有效面积：$A = 5\text{cm} \times 5\text{cm} = 0.05\text{m} \times 0.05\text{m} = 0.0025\text{m}^2$。
• 计算电容：
  $C_0 = \dfrac{4 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.0025}{0.001} = 8.854 \times 10^{-11} \text{F}.$

当输入位移为2.5cm时

• 部分介质移出：剩余介质覆盖长度为$5\text{cm} - 2.5\text{cm} = 2.5\text{cm}$。
• 并联结构：
  1. 介质部分：$A_1 = 5\text{cm} \times 2.5\text{cm} = 0.00125\text{m}^2$，$\varepsilon_r=4$。
     $C_1 = \dfrac{4 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.00125}{0.001} = 4.427 \times 10^{-11} \text{F}.$
  2. 空气部分：$A_2 = 5\text{cm} \times 2.5\text{cm} = 0.00125\text{m}^2$，$\varepsilon_r=1$。
     $C_2 = \dfrac{1 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.00125}{0.001} = 1.107 \times 10^{-11} \text{F}.$
• 总电容：
  $C = C_1 + C_2 = 5.534 \times 10^{-11} \text{F}.$

当输入位移为5.0cm时

• 介质完全移出：极板间全为空气，$\varepsilon_r=1$。
• 有效面积：$A = 5\text{cm} \times 5\text{cm} = 0.0025\text{m}^2$。
• 计算电容：
  $C = \dfrac{1 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.0025}{0.001} = 2.213 \times 10^{-11} \text{F}.$