(2)若 (a-0), f(a+0) 主少有-|||-△[例1]设 (x)=dfrac ({x)^3-3x+2}({x)^2-1}, 求f(x)的间断点并分类.-|||-14cm。的问断占

考查要点：本题主要考查函数间断点的求解及分类，涉及分式函数的定义域、因式分解、极限计算等知识点。

解题核心思路：

1. 确定分母为零的点：分母为$x^2 - 1$，解方程$x^2 - 1 = 0$得到$x = 1$和$x = -1$。
2. 分析分子在这些点的值：
   • 若分子不为零，则对应点为无穷间断点；
   • 若分子也为零，需进一步分解分子和分母，判断是否可约分：
     • 若约分后极限存在，则为可去间断点；
     • 若约分后仍存在分母为零的情况，则为无穷间断点。

破题关键点：

• 因式分解：将分子$x^3 - 3x + 2$分解为$(x-1)^2(x+2)$，分母分解为$(x-1)(x+1)$。
• 约分简化：通过约分判断$x=1$处的极限是否存在。

步骤1：确定分母为零的点

分母为$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，解得$x = 1$和$x = -1$，即函数在$x=1$和$x=-1$处无定义。

步骤2：分析$x=1$处的间断点类型

1. 代入分子：$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$，分子也为零。
2. 因式分解分子：
   • 分子$x^3 - 3x + 2$可分解为$(x-1)^2(x+2)$。
3. 约分简化：
   • 原函数可化简为$\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1}$（$x \neq 1$）。
4. 计算极限：
   • $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1} = \dfrac{3}{2}$，极限存在。
   • 结论：$x=1$为可去间断点。

步骤3：分析$x=-1$处的间断点类型

1. 代入分子：$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 2 = 4 \neq 0$。
2. 极限分析：
   • 当$x \to -1$时，分母趋近于$0$，分子趋近于$4$，函数值趋向无穷大。
   • 结论：$x=-1$为无穷间断点。