有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为x1=4cos(2πt+π)(cm)，x2=3cos(2πt+π2)(cm)． (1)求它们的合振动方程． (2)另有一同方向的简谐振动x3=2cos(2πt+φ3)(cm)．问当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最大值？当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最小值？

考查要点：本题主要考查同频率简谐振动的合成，以及通过调整相位使合振幅达到极值的问题。

解题核心思路：

1. 第一问：将两个同频率的简谐振动表达式展开为同一三角函数形式（如正弦或余弦），直接相加得到合振动方程。
2. 第二问：利用振幅合成公式，分析相位差对合振幅的影响，确定使振幅最大或最小的相位条件。

破题关键点：

• 相位转换：利用三角函数恒等式（如$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$，$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$）简化表达式。
• 振幅合成公式：合振幅$A_{\text{合}} = \sqrt{A_1^2 + A_3^2 + 2A_1A_3\cos\Delta\phi}$，其中$\Delta\phi$为两振动的相位差。

第（1）题

化简振动方程

• x₁的化简：
  $x_1 = 4\cos(2\pi t + \pi) = 4 \cdot (-\cos 2\pi t) = -4\cos 2\pi t$
  （利用$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$）

• x₂的化简：
  $x_2 = 3\cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = 3 \cdot (-\sin 2\pi t) = -3\sin 2\pi t$
  （利用$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$）

求和振动方程

将$x_1$和$x_2$相加：
$x_{\text{合}} = x_1 + x_2 = -4\cos 2\pi t - 3\sin 2\pi t$

第（2）题

合振幅公式

合振幅为：
$A_{\text{合}} = \sqrt{A_1^2 + A_3^2 + 2A_1A_3\cos\Delta\phi}$
其中$\Delta\phi = (\phi_3 - \pi)$（因$x_1$的相位为$2\pi t + \pi$，$x_3$的相位为$2\pi t + \phi_3$）。

振幅最大与最小条件

• 振幅最大：$\cos\Delta\phi = 1 \Rightarrow \Delta\phi = 2n\pi$
  解得：$\phi_3 - \pi = 2n\pi \Rightarrow \phi_3 = \pi + 2n\pi$
  （$n$为整数）

• 振幅最小：$\cos\Delta\phi = -1 \Rightarrow \Delta\phi = \pi + 2n\pi$
  解得：$\phi_3 - \pi = \pi + 2n\pi \Rightarrow \phi_3 = 2\pi + 2n\pi$