题目

高斯定律的微分形式是__，它表明静电荷是静电场的源。

高斯定律的微分形式是__________，它表明静电荷是静电场的________源。

题目解答

答案

高斯定律的微分形式是∇·D = ρ，其中D为电位移矢量，ρ为自由电荷体密度。该形式表明静电场中任意一点的电位移矢量散度等于该点的自由电荷体密度，即静电荷是静电场的通量源。电位移矢量D的通量仅与闭合曲面内的自由电荷相关，极化电荷的影响已包含在D中。
答案：∇·D = ρ; 通量

解析

本题考查高斯定律的微分形式以及静电荷在静电场中的性质相关知识点。解题思路如下：

首先明确高斯定律的积分形式为$\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{f}$，其中$\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}$表示电位移矢量$\vec{D}$通过闭合曲面$S$的通量，$Q_{f}$是闭合曲面$S$内的自由电荷总量。
然后根据高斯散度定理$\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}dV$，这里$V$是闭合曲面$S$所包围的体积。
由于$Q_{f}=\int_{V}\rho dV$，其中$\rho$是自由电荷体密度。
结合上述式子，由$\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{f}$可得$\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}dV=\int_{V}\rho dV$。
因为对于任意的体积$V$该等式都成立，所以可以得出$\nabla\cdot\vec{D}=\rho$，这就是高斯定律的微分形式。
从物理意义上理解，电位移矢量$\vec{D}$的通量仅与闭合曲面内的自由电荷相关，极化电荷的影响已包含在$\vec{D}$中，而静电荷（这里指自由电荷）决定了静电场的通量分布，所以静电荷是静电场的通量源。