一质点在平面内运动，其运动学方程为 x=2t，y=3+t^2，式中 t 以 s 为单位，x,y 以 m 为单位，求：（1）质点的轨迹方程；（2）2s 末的位矢；（3）2s 末的速度和加速度。（手写答案，拍照上传）

本题主要考查质点运动学中轨迹方程、位矢、速度和加速度的求解。解题思路如下：

1. 求质点的轨迹方程：
   • 已知质点的运动学方程为$x = 2t$和$y = 3 + t^2$，要求轨迹方程，需要消去参数$t$。
   • 由$x = 2t$，可得$t=\frac{x}{2}$。
   • 将$t=\frac{x}{2}$代入$y = 3 + t^2$中，得到$y = 3 + (\frac{x}{2})^2$。
   • 根据幂运算法则$(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{4}$，所以轨迹方程为$y = 3 + \frac{x^2}{4}$。
2. 求2s末的位矢：
   • 位矢$\vec{r}$在平面直角坐标系中可表示为$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$，其中$\hat{i}$和$\hat{j}$分别是$x$轴和$y$轴正方向的单位矢量。
   • 已知$x = 2t$，$y = 3 + t^2$，当$t = 2s$时，将$t = 2$代入$x = 2t$，可得$x = 2\times2 = 4m$。
   • 将$t = 2$代入$y = 3 + t^2$，可得$y = 3 + 2^2 = 3 + 4 = 7m$。
   • 所以$2s$末的位矢$\vec{r}=4\hat{i}+7\hat{j}(m)$。
3. 求2s末的速度和加速度：
   • 速度$\vec{v}$是位矢$\vec{r}$对时间$t$的一阶导数，加速度$\vec{a}$是速度$\vec{v}$对时间$t$的一阶导数。
   • 已知$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$，且$x = 2t$，$y = 3 + t^2$，对$\vec{r}$求导：
     • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(C)^\prime = 0$（$C$为常数），$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}$。
     • 对$x = 2t$求导，$\frac{dx}{dt}=\frac{d(2t)}{dt}=2$。
     • 对$y = 3 + t^2$求导，$\frac{dy}{dt}=\frac{d(3 + t^2)}{dt}=\frac{d(3)}{dt}+\frac{d(t^2)}{dt}=0 + 2t = 2t$。
     • 所以速度$\vec{v}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}=2\hat{i}+2t\hat{j}$。
   • 当$t = 2s$时，将$t = 2$代入$\vec{v}=2\hat{i}+2t\hat{j}$，可得$\vec{v}=2\hat{i}+2\times2\hat{j}=2\hat{i}+4\hat{j}(m/s)$。
   • 对速度$\vec{v}=2\hat{i}+2t\hat{j}$求导得到加速度$\vec{a}$：
     • $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(2\hat{i}+2t\hat{j})}{dt}=\frac{d(2)}{dt}\hat{i}+\frac{d(2t)}{dt}\hat{j}$。
     • 因为$\frac{d(2)}{dt}=0$，$\frac{d(2t)}{dt}=2$，所以加速度$\vec{a}=2\hat{j}(m/s^2)$，加速度与时间无关，所以$2s$末加速度仍为$\vec{a}=2\hat{j}(m/s^2)$。