•试建立如图所示系统[1]的微分方程。其中外力 F(t)为输入量;位移y(t)为输出量;k为弹性系数,f为阻尼系数,质量 m。(6分)⏺

考查要点：本题考察机械系统微分方程的建立及传递函数的求解，需掌握牛顿定律的应用、受力分析及拉普拉斯变换。

解题核心思路：

1. 受力分析：对质量块进行受力分析，明确外力、弹性力、阻尼力的方向。
2. 牛顿定律：根据 $F=ma$ 建立微分方程，注意各力的符号一致性。
3. 拉普拉斯变换：将微分方程转换为传递函数，注意零初始条件的应用。

破题关键点：

• 方向一致性：外力 $F(t)$ 与弹性力 $-ky(t)$、阻尼力 $-f\dot{y}(t)$ 的方向关系。
• 微分方程整理：将方程整理为标准形式，便于后续变换。

第1题：建立微分方程

受力分析

质量块 $m$ 受到三个力：

1. 外力：$F(t)$（输入）
2. 弹性力：$-ky(t)$（弹簧反向作用）
3. 阻尼力：$-f\dot{y}(t)$（阻尼器反向作用）

应用牛顿定律

根据 $F_{\text{总}} = m\ddot{y}(t)$，得：
$F(t) - f\dot{y}(t) - ky(t) = m\ddot{y}(t)$

整理方程

移项得标准二阶微分方程：
$m\ddot{y}(t) + f\dot{y}(t) + ky(t) = F(t)$

第2题：求传递函数

建立微分方程

质量块 $m$ 受力：

1. 外力：$f(t)$（输入）
2. 弹性力：$-kx(t)$
3. 阻尼力：$-B\dot{x}(t)$

根据牛顿定律：
$m\ddot{x}(t) + B\dot{x}(t) + kx(t) = f(t)$

拉普拉斯变换

假设零初始条件，对各方程项进行拉普拉斯变换：
$m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s)$

整理传递函数

将 $X(s)$ 与 $F(s)$ 分离：
$G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2 + Bs + k}$