36、研究长为1,一端固定,另一端自由,初始位移为hx而初始速度为零的-|||-弦的自由振动情况。

步骤 1：建立定解问题
考虑一维波动方程，描述弦的自由振动情况。设弦的长度为1，一端固定，另一端自由，初始位移为hx，初始速度为零。波动方程为：
$$
u_{tt} = a^2 u_{xx}
$$
其中，$u(x,t)$表示弦在位置$x$和时间$t$的位移，$a$是波速。边界条件为：
$$
u(0,t) = 0, \quad u_x(1,t) = 0
$$
初始条件为：
$$
u(x,0) = hx, \quad u_t(x,0) = 0
$$
步骤 2：分离变量法
假设解的形式为：
$$
u(x,t) = X(x)T(t)
$$
代入波动方程，分离变量得到：
$$
\frac{T''}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda
$$
其中，$\lambda$是分离常数。得到两个常微分方程：
$$
X'' + \lambda X = 0
$$
$$
T'' + \lambda a^2 T = 0
$$
步骤 3：求解空间部分
考虑边界条件$u(0,t) = 0$，得到$X(0) = 0$。对于$u_x(1,t) = 0$，得到$X'(1) = 0$。因此，空间部分的方程为：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
X'' + \lambda X = 0 \\
X(0) = 0 \\
X'(1) = 0
\end{array}
\right.
$$
求解特征值问题，得到特征值$\lambda_n = \left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^2$，特征函数$X_n(x) = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right)$，其中$n = 0, 1, 2, \ldots$。
步骤 4：求解时间部分
时间部分的方程为：
$$
T'' + \lambda_n a^2 T = 0
$$
求解得到：
$$
T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}at\right) + B_n \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}at\right)
$$
步骤 5：应用初始条件
初始条件为$u(x,0) = hx$，$u_t(x,0) = 0$。代入得到：
$$
u(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right) = hx
$$
$$
u_t(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{(2n+1)\pi}{2}a \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right) = 0
$$
由第二个初始条件，得到$B_n = 0$。第一个初始条件通过傅里叶正弦级数展开得到$A_n$。
步骤 6：求解傅里叶系数
利用傅里叶正弦级数展开，得到：
$$
A_n = 2 \int_0^1 hx \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right) dx
$$
计算积分，得到：
$$
A_n = \frac{4h}{(2n+1)^2 \pi^2} \left[1 - (-1)^n\right]
$$
步骤 7：写出通解
将$A_n$代入，得到通解：
$$
u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4h}{(2n+1)^2 \pi^2} \left[1 - (-1)^n\right] \cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}at\right) \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right)
$$