题目
质量为m的物体，从高出弹簧上端h处由静止自由下落到竖直放置在地面上的轻弹簧上，弹簧的劲度系数为k，则弹簧被压缩的最大距离x=_____。
质量为m的物体，从高出弹簧上端h处由静止自由下落到竖直放置在地面上的轻弹簧上，弹簧的劲度系数为k，则弹簧被压缩的最大距离$x=$_____。
题目解答
答案
【解析】
根据能量守恒，有$mgleft ( {h+x} right )=frac {1} {2}k{x}^{2}$，则弹簧被压缩的最大距离$x=frac {mg+sqrt {{m}^{2}{g}^{2}+2mgkh}} {k}$，（$x=frac {mg-sqrt {{m}^{2}{g}^{2}+2mgkh}} {k}lt 0$，舍）
【答案】
$frac {mg+sqrt {{m}^{2}{g}^{2}+2mgkh}} {k}$
解析
步骤 1：确定能量守恒定律
物体从静止开始自由下落，直到弹簧被压缩到最大距离，整个过程中机械能守恒。物体的重力势能转化为弹簧的弹性势能。
步骤 2：列出能量守恒方程
物体下落过程中，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量。设弹簧被压缩的最大距离为$x$，则有：
$mg(h+x) = \frac{1}{2}kx^2$
步骤 3：求解$x$
将能量守恒方程进行变形，得到一个关于$x$的二次方程：
$\frac{1}{2}kx^2 - mgx - mgh = 0$
解这个二次方程，得到$x$的两个解：
$x = \frac{mg \pm \sqrt{m^2g^2 + 2mgkh}}{k}$
由于$x$表示弹簧被压缩的距离，必须为正值，因此舍去负值解，得到：
$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkh}}{k}$
物体从静止开始自由下落，直到弹簧被压缩到最大距离，整个过程中机械能守恒。物体的重力势能转化为弹簧的弹性势能。
步骤 2：列出能量守恒方程
物体下落过程中，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量。设弹簧被压缩的最大距离为$x$，则有：
$mg(h+x) = \frac{1}{2}kx^2$
步骤 3：求解$x$
将能量守恒方程进行变形，得到一个关于$x$的二次方程：
$\frac{1}{2}kx^2 - mgx - mgh = 0$
解这个二次方程，得到$x$的两个解：
$x = \frac{mg \pm \sqrt{m^2g^2 + 2mgkh}}{k}$
由于$x$表示弹簧被压缩的距离，必须为正值，因此舍去负值解，得到：
$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkh}}{k}$