.1-4 一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为 a=-kx ,k为大于0的常量如果 t=0-|||-时质点静止于 =(x)_(0) 处,试求:-|||-(1)质点在任意位置处运动速度与位置的关系;-|||-(2)质点的运动方程.已知 int dfrac (dx)(sqrt {{a)^2-(x)^2}}=arcsin dfrac (x)(a)+c.)

本题主要考查了加速度、速度和位移之间的关系，以及积分运算在求解运动学问题中的应用。解题的关键在于利用加速度的定义式$a = \frac{dv}{dt}$，通过变量代换将其转化为可积分的形式，进而求解速度与位置的关系以及运动方程。

（1）求质点在任意位置处运动速度与位置的关系

已知加速度$a = -kx$，根据加速度的定义$a=\frac{dv}{dt}$，同时利用复合函数求导法则$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$，则有：
$v\frac{dv}{dx}=-kx$
将上式进行变量分离，得到：
$vdv=-kxdx$
两边同时积分，积分下限根据初始条件$t = 0$时，$v = 0$，$x = x_0$确定，积分上限为任意时刻的速度$v$和位置$x$，即：
$\int_{0}^{v}vdv=-\int_{x_0}^{x}kxdx$
对左边积分$\int_{0}^{v}vdv$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
$\int_{0}^{v}vdv=\left[\frac{1}{2}v^2\right]_{0}^{v}=\frac{1}{2}v^2$
对右边积分$-\int_{x_0}^{x}kxdx$，可得：
$-\int_{x_0}^{x}kxdx=-k\int_{x_0}^{x}xdx=-k\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{x_0}^{x}=-\frac{k}{2}(x^2 - x_0^2)$
则有：
$\frac{1}{2}v^2=-\frac{k}{2}(x^2 - x_0^2)$
两边同时乘以$2$并开方，得到：
$v=\pm\sqrt{k(x_0^2 - x^2)}$

（2）求质点的运动方程

由$v = \frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{k(x_0^2 - x^2)}$，进行变量分离可得：
$\frac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}=\pm\sqrt{k}dt$
两边同时积分，积分下限根据初始条件$t = 0$时，$x = x_0$确定，积分上限为任意时刻$t$和位置$x$，即：
$\int_{x_0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}=\pm\int_{0}^{t}\sqrt{k}dt$
已知$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$，则左边积分$\int_{x_0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}$可得：
$\int_{x_0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}=\left[\arcsin\frac{x}{x_0}\right]_{x_0}^{x}=\arcsin\frac{x}{x_0}-\arcsin\frac{x_0}{x_0}=\arcsin\frac{x}{x_0}-\frac{\pi}{2}$
右边积分$\pm\int_{0}^{t}\sqrt{k}dt$可得：
$\pm\int_{0}^{t}\sqrt{k}dt=\pm\sqrt{k}\left[t\right]_{0}^{t}=\pm\sqrt{k}t$
则有：
$\arcsin\frac{x}{x_0}-\frac{\pi}{2}=\pm\sqrt{k}t$
移项可得：
$\arcsin\frac{x}{x_0}=\frac{\pi}{2}\pm\sqrt{k}t$
两边同时取正弦，得到：
$\frac{x}{x_0}=\sin(\frac{\pi}{2}\pm\sqrt{k}t)$
根据三角函数诱导公式$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$，$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$，可得：
$\frac{x}{x_0}=\cos\sqrt{k}t$
两边同时乘以$x_0$，得到质点的运动方程为：
$x = x_0\cos\sqrt{k}t$