27.如图所示,一质点自光滑球面的顶点处静止下滑,沿球面半径为R,在垂直-|||-方向质点落下距离h多大时开始脱离球面。-|||-R

考查要点：本题主要考查机械能守恒定律和圆周运动中的向心力分析，需要结合几何关系求解脱离条件。

解题核心思路：

1. 机械能守恒：质点下滑过程中，重力势能转化为动能，无摩擦力做功。
2. 脱离条件：当质点对球面的压力为零时，向心力完全由重力的径向分量提供。
3. 几何关系：通过角度$\alpha$建立高度差与球面半径的关系，最终求出$h$。

破题关键点：

• 确定脱离时刻的受力：支持力$N=0$，向心力由$mg\cos\alpha$提供。
• 机械能守恒方程：正确选取重力势能参考点（顶点为零势能面）。
• 几何转化：将角度$\alpha$与竖直下落距离$h$关联。

步骤1：机械能守恒分析

以球顶为零势能面，质点下滑到与竖直方向夹角$\alpha$处时：

• 初始状态：动能$E_k=0$，势能$E_p=0$。
• 当前状态：动能$\frac{1}{2}mv^2$，势能$-mgR(1-\cos\alpha)$（下降高度$R(1-\cos\alpha)$）。

根据机械能守恒：
$0 = \frac{1}{2}mv^2 - mgR(1-\cos\alpha)$
解得：
$v^2 = 2gR(1-\cos\alpha)$

步骤2：向心力条件

脱离球面时，支持力$N=0$，向心力由重力径向分量提供：
$mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$
将$v^2$代入：
$mg\cos\alpha = \frac{m \cdot 2gR(1-\cos\alpha)}{R}$
化简得：
$\cos\alpha = 2(1-\cos\alpha) \quad \Rightarrow \quad \cos\alpha = \frac{2}{3}$

步骤3：计算下落高度$h$

质点下落的竖直距离为：
$h = R - R\cos\alpha = R\left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{R}{3}$