题目
3.(12分)在施特恩-盖拉赫实验中(如下图),不均匀横向磁场梯度为-|||-dfrac (OB)(partial .)=5.07/cm, 磁极的纵向范围 =10cm, 磁极中心到屏的距离 =30cm, 使-|||-用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能 _(k)=5.0times (10)^-2eV 试求屏上线束边沿-|||-成分之间的距离。( (mu )_(B)=0.5788times (10)^-4eVcdot (T)^-1 )-|||-个 z-|||-d-|||-0 s-|||-P-|||-S1 5:-|||-- x-|||-N-|||-D-|||-通真空泵
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定原子态和相关参数
原子处于基态4F3/2，这意味着 $L=3$，$S=\frac{3}{2}$，$J=\frac{3}{2}$。因此，$m_J$ 的可能值为 $\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$。对于施特恩-盖拉赫实验，我们关心的是 $m_J$ 的最大和最小值，即 $\frac{3}{2}$ 和 $-\frac{3}{2}$。
步骤 2：计算原子的磁矩
原子的磁矩 $\mu$ 可以通过公式 $\mu = g_J m_J \mu_B$ 计算，其中 $g_J$ 是 $J$ 的朗德因子，$m_J$ 是 $J$ 的量子数，$\mu_B$ 是玻尔磁子。对于 $J=\frac{3}{2}$，$g_J$ 可以通过公式 $g_J = \frac{3}{2} + \frac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$ 计算。将 $L=3$，$S=\frac{3}{2}$，$J=\frac{3}{2}$ 代入，得到 $g_J = \frac{2}{5}$。因此，$\mu = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2} \times \mu_B = \frac{3}{5} \mu_B$。
步骤 3：计算屏上线束边沿成分之间的距离
屏上线束边沿成分之间的距离 $\Delta z$ 可以通过公式 $\Delta z = 2 \mu \frac{dB}{dz} \frac{D}{2E_k}$ 计算，其中 $\frac{dB}{dz}$ 是磁场梯度，$D$ 是磁极中心到屏的距离，$E_k$ 是原子的动能。将 $\mu = \frac{3}{5} \mu_B$，$\frac{dB}{dz} = 5.07 \times 10^2 T/m$，$D = 0.30 m$，$E_k = 5.0 \times 10^{-2} eV$ 代入，得到 $\Delta z = 2 \times \frac{3}{5} \times 0.5788 \times 10^{-4} eV/T \times 5.07 \times 10^2 T/m \times \frac{0.30 m}{2 \times 5.0 \times 10^{-2} eV} = 1.0 \times 10^{-2} m$。
原子处于基态4F3/2，这意味着 $L=3$，$S=\frac{3}{2}$，$J=\frac{3}{2}$。因此，$m_J$ 的可能值为 $\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$。对于施特恩-盖拉赫实验，我们关心的是 $m_J$ 的最大和最小值，即 $\frac{3}{2}$ 和 $-\frac{3}{2}$。
步骤 2：计算原子的磁矩
原子的磁矩 $\mu$ 可以通过公式 $\mu = g_J m_J \mu_B$ 计算，其中 $g_J$ 是 $J$ 的朗德因子，$m_J$ 是 $J$ 的量子数，$\mu_B$ 是玻尔磁子。对于 $J=\frac{3}{2}$，$g_J$ 可以通过公式 $g_J = \frac{3}{2} + \frac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$ 计算。将 $L=3$，$S=\frac{3}{2}$，$J=\frac{3}{2}$ 代入，得到 $g_J = \frac{2}{5}$。因此，$\mu = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2} \times \mu_B = \frac{3}{5} \mu_B$。
步骤 3：计算屏上线束边沿成分之间的距离
屏上线束边沿成分之间的距离 $\Delta z$ 可以通过公式 $\Delta z = 2 \mu \frac{dB}{dz} \frac{D}{2E_k}$ 计算，其中 $\frac{dB}{dz}$ 是磁场梯度，$D$ 是磁极中心到屏的距离，$E_k$ 是原子的动能。将 $\mu = \frac{3}{5} \mu_B$，$\frac{dB}{dz} = 5.07 \times 10^2 T/m$，$D = 0.30 m$，$E_k = 5.0 \times 10^{-2} eV$ 代入，得到 $\Delta z = 2 \times \frac{3}{5} \times 0.5788 \times 10^{-4} eV/T \times 5.07 \times 10^2 T/m \times \frac{0.30 m}{2 \times 5.0 \times 10^{-2} eV} = 1.0 \times 10^{-2} m$。