题目

9-21 电荷以相同的面密度σ分布在半径为 _(1)=10cm 和 _(2)=20cm 的两个同心球面上.设-|||-无穷远处电势为零,球心处的电势为 _(0)=300V.-|||-(1)求电荷面密度σ;-|||-(2)若使球心处的电势也为零,外球面上应放掉多少电荷?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查球壳电势的叠加计算及电荷面密度与电势的关系。
解题思路：

  1. 电势叠加原理：球心处的总电势由两个球面电荷产生的电势代数和决定。
  2. 球面电势公式：半径为$r$、电荷量为$Q$的球面，在球心处的电势为$\frac{kQ}{r}$。
  3. 电荷面密度与电荷量关系：球面电荷量$Q = \sigma \cdot 4\pi r^2$。
  4. 调整电荷使总电势为零：通过改变外球面电荷量，使两球面电势代数和为零。

第（1）题：求电荷面密度$\sigma$

球心总电势表达式

内球面电势：
$V_1 = \frac{kQ_1}{r_1} = \frac{k \cdot \sigma \cdot 4\pi r_1^2}{r_1} = 4\pi k \sigma r_1$
外球面电势：
$V_2 = \frac{kQ_2}{r_2} = \frac{k \cdot \sigma \cdot 4\pi r_2^2}{r_2} = 4\pi k \sigma r_2$
总电势：
$V_0 = V_1 + V_2 = 4\pi k \sigma (r_1 + r_2)$

解方程求$\sigma$

代入已知条件$V_0 = 300\ \text{V}$，$r_1 = 0.1\ \text{m}$，$r_2 = 0.2\ \text{m}$，$k = 8.988 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$：
$\sigma = \frac{V_0}{4\pi k (r_1 + r_2)} = \frac{300}{4\pi \cdot 8.988 \times 10^9 \cdot 0.3} \approx 8.85 \times 10^{-9}\ \text{C/m}^2$

第（2）题：外球面应放掉的电荷$q'$

调整外球面电荷使总电势为零

设调整后外球面电荷量为$Q_2'$，则总电势为：
$V_1 + \frac{kQ_2'}{r_2} = 0$
代入$V_1 = 4\pi k \sigma r_1$：
$4\pi k \sigma r_1 + \frac{kQ_2'}{r_2} = 0 \implies Q_2' = -4\pi \sigma r_1 r_2$

计算需放掉的电荷

原外球面电荷：
$Q_2 = \sigma \cdot 4\pi r_2^2$
需放掉的电荷：
$q' = Q_2 - Q_2' = \sigma \cdot 4\pi r_2^2 + 4\pi \sigma r_1 r_2 = 4\pi \sigma r_2 (r_2 + r_1)$
代入$\sigma = 8.85 \times 10^{-9}\ \text{C/m}^2$，$r_1 = 0.1\ \text{m}$，$r_2 = 0.2\ \text{m}$：
$q' \approx 4\pi \cdot 8.85 \times 10^{-9} \cdot 0.2 \cdot (0.2 + 0.1) \approx 6.67 \times 10^{-9}\ \text{C}$