题目

试以流体流动的连续性定理和伯努利定理为基础，分别说明低速气流和高速气流流经扩张管时，其速度v1、v2和压强P1、P2的关系变化规律。

试以流体流动的连续性定理和伯努利定理为基础，分别说明低速气流和高速气流流经扩张管时，其速度$v1$、$v2$和压强$P1$、$P2$的关系变化规律。

题目解答

答案

  1. 低速气流（不可压缩）：
    根据连续性定理 $ A_1 v_1 = A_2 v_2 $，$ A_2 > A_1 $，故 $ v_2 < v_1 $。
    由伯努利定理 $ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 $，得 $ P_2 > P_1 $。
    结论：$ v_2 < v_1 $，$ P_2 > P_1 $。

  2. 高速气流（可压缩）：

  • 亚音速（$ v_1 < a $）： $ v_2 < v_1 $，$ P_2 > P_1 $。
  • 超音速（$ v_1 > a $）： $ v_2 > v_1 $，$ P_2 < P_1 $。

综上：

  • 低速气流：$ v_2 < v_1 $，$ P_2 > P_1 $。
  • 高速气流：
    • 亚音速：$ v_2 < v_1 $，$ P_2 > P_1 $。
    • 超音速：$ v_2 > v_1 $，$ P_2 < P_1 $。

解析

本题主要考察流体力学中连续性定理和伯努利定理的应用，需区分低速（不可压缩）气流和高速（可压缩，分亚音速和超音速）气流流经扩张管时的速度和压强变化规律，具体分析如下：

一、核心定理回顾

  1. 连续性定理：对于定常流动，流体体积流量守恒，即 $A_1 v_1 = A_2 v_2$（$A$ 为截面积，$v$ 为流速）。
  2. 伯努利定理：对于不可压缩、无粘性的定常流动，沿流线总能量守恒，即 $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{常数}$（$P$ 为压强，$\rho$ 为密度）。
  3. 高速气流的特殊性：可压缩流体中，密度$\rho$随压强变化，且流速接近或超过声速（$a$）时，需考虑压缩性和激波效应，伯努利定理需修正为能量方程 $h + \frac{v^2}{2} = \text{常数}$（$h$ 为焓）。

二、低速气流（不可压缩）

低速气流中，密度$\rho$近似不变，连续性定理直接给出：

  • 扩张管中$A_2 > A_1$，故$v_2 < v_1$（流速减小）。

由伯努利定理，流速减小则压强增大：

  • $P_2 > P_1$（压强升高）。

三、高速气流（可压缩）

高速气流需区分亚音速（$v_1 < a$）和超音速（$v_1 > a$）：

1. 亚音速气流（$v_1 < a$）

亚音速时，压缩性较弱，但仍需用可压缩能量方程 $h_1 + \frac{v_1^2}{2} = h_2 + \frac{v_2^2}{2}$。

  • 焓$h$随密度增大而增大，扩张管中气流减速（$v_2 < v_1$），焓$h_2 > h_1$，对应密度$\rho_2 > \rho_1$，压强$P_2 > P_1$（规律与低速类似）。

2. 超音速气流（$v_1 > a$）

超音速时，流动遵循面积-速度关系：扩张管中，流速随截面积增大而增大（$\frac{dv}{dA} > 0$），原因是：

  • 超音速流中，扰动无法逆流传播，扩张管使气流膨胀加速；
  • 由能量方程，流速增大则焓$h_2 < h_1$，密度$\rho_2 < \rho_1$，压强$P_2 < P_1$（压强降低）。