22.(2.0分) 复变函数 f(z) = z^2 + 2z + 5 在整个复平面上连续。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查复变函数连续性的判断，涉及多项式函数的性质及解析函数的连续性。

解题核心思路：

1. 多项式函数的解析性：复变多项式函数（如 $z^n$、线性组合等）在复平面上处处解析。
2. 解析与连续的关系：解析函数必然连续，但连续函数不一定解析。
3. 分解实虚部验证：将复变函数分解为实部和虚部，若两者均为连续实值函数，则原函数连续。

破题关键点：

• 直接利用多项式函数的解析性推导连续性。
• 或通过分解实虚部分析其连续性。

复变函数 $f(z) = z^2 + 2z + 5$ 是多项式函数。根据复变函数理论：

1. 多项式函数的解析性：所有复变多项式函数（如 $z^n$、$az + b$ 等）在复平面上处处解析。
2. 解析函数的连续性：解析函数在其定义域内必然连续。因此，$f(z)$ 在整个复平面上连续。

进一步验证：
设 $z = x + yi$（$x, y \in \mathbb{R}$），则
$f(z) = (x^2 - y^2 + 2x + 5) + (2xy + 2y)i.$

• 实部 $u(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 5$ 是关于 $x, y$ 的多项式，连续。
• 虚部 $v(x, y) = 2xy + 2y$ 也是关于 $x, y$ 的多项式，连续。

因此，$f(z)$ 的实部和虚部均为连续函数，故 $f(z)$ 在复平面上连续。