题目
u=0.08m·s^--|||-y/m-|||-P-|||-0 0.20 0.40 0.60 x/m-|||--0.04-|||-习题-|||-10-16 图示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,求:(1)该波的波动方程;(2)P处-|||-质元的运动方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的参数
从图中可以看出，波的振幅 A = 0.04 m，波长 λ = 0.40 m。波速 u = 0.08 m/s。由于波形图在 t = 0 时刻，波形图的形状为正弦波，且在 x = 0 处，波形图的位移为零，速度为正，因此波的初相位为 -π/2。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为 y = A cos(ωt - kx + φ)，其中 A 是振幅，ω 是角频率，k 是波数，φ 是初相位。根据波速 u = ω/k，可以得到 ω = 2πu/λ = 2π × 0.08 / 0.40 = 2π/5 rad/s，k = 2π/λ = 2π / 0.40 = 5π rad/m。因此，波动方程为 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π x + φ)。由于在 x = 0 处，波形图的位移为零，速度为正，因此初相位 φ = -π/2。所以波动方程为 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π x - π/2)。
步骤 3：写出 P 处质元的运动方程
P 处质元的运动方程为波动方程在 x = 0.20 m 处的表达式。将 x = 0.20 m 代入波动方程，得到 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π × 0.20 - π/2) = 0.04 cos(2π/5 t - π - π/2) = 0.04 cos(2π/5 t + π/2)。
从图中可以看出，波的振幅 A = 0.04 m，波长 λ = 0.40 m。波速 u = 0.08 m/s。由于波形图在 t = 0 时刻，波形图的形状为正弦波，且在 x = 0 处，波形图的位移为零，速度为正，因此波的初相位为 -π/2。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为 y = A cos(ωt - kx + φ)，其中 A 是振幅，ω 是角频率，k 是波数，φ 是初相位。根据波速 u = ω/k，可以得到 ω = 2πu/λ = 2π × 0.08 / 0.40 = 2π/5 rad/s，k = 2π/λ = 2π / 0.40 = 5π rad/m。因此，波动方程为 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π x + φ)。由于在 x = 0 处，波形图的位移为零，速度为正，因此初相位 φ = -π/2。所以波动方程为 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π x - π/2)。
步骤 3：写出 P 处质元的运动方程
P 处质元的运动方程为波动方程在 x = 0.20 m 处的表达式。将 x = 0.20 m 代入波动方程，得到 y = 0.04 cos(2π/5 t - 5π × 0.20 - π/2) = 0.04 cos(2π/5 t - π - π/2) = 0.04 cos(2π/5 t + π/2)。