题目
十二、动能定理(15分)已知:轮O :R1 ,m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C :R2 ,m2 ,纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
十二、动能定理(15分)
已知:轮O :R1 ,m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C :R2 ,
m2 ,纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
题目解答
答案
解:轮C与轮O共同作为一个质点系
式(a)是函数关系式,两端对t 求导,得
解析
步骤 1：确定轮O和轮C的动能
轮O的质量分布在轮缘上，因此其转动惯量为 \(I_1 = m_1 R_1^2\)。轮C为均质轮，其转动惯量为 \(I_2 = \frac{1}{2} m_2 R_2^2\)。轮C纯滚动，因此其线速度 \(v\) 与角速度 \(\omega\) 之间的关系为 \(v = R_2 \omega\)。
步骤 2：应用动能定理
动能定理表明，外力对系统做的功等于系统动能的改变量。对于轮O和轮C组成的系统，外力偶M做的功为 \(M \theta\)，其中 \(\theta\) 是轮O转过的角度。轮心C走过路程s时，轮O转过的角度为 \(\theta = \frac{s}{R_2}\)。因此，外力偶M做的功为 \(M \frac{s}{R_2}\)。系统动能的改变量为 \(\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2\)，其中 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 分别是轮O和轮C的角速度。由于轮C纯滚动，有 \(\omega_2 = \frac{v}{R_2}\)。因此，动能定理可以写为：
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \omega_1^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2\]
步骤 3：求解速度和加速度
由于轮O和轮C是刚性连接的，它们的角速度相等，即 \(\omega_1 = \omega_2 = \frac{v}{R_2}\)。将 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 代入动能定理的方程中，得到：
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \frac{v^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2 v^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \left(\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2\right) v^2\]
\[v^2 = \frac{M \frac{s}{R_2}}{\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2}\]
\[v = \sqrt{\frac{M \frac{s}{R_2}}{\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2}}\]
轮心C的加速度 \(a\) 可以通过速度对时间的导数得到，但由于题目没有给出时间信息，我们无法直接计算加速度。然而，加速度可以通过速度对路程的导数得到，即 \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds} v\)。由于 \(v\) 是 \(s\) 的函数，我们可以通过对 \(v\) 关于 \(s\) 的导数来计算加速度。然而，由于题目没有给出时间信息，我们无法直接计算加速度的数值。
轮O的质量分布在轮缘上，因此其转动惯量为 \(I_1 = m_1 R_1^2\)。轮C为均质轮，其转动惯量为 \(I_2 = \frac{1}{2} m_2 R_2^2\)。轮C纯滚动，因此其线速度 \(v\) 与角速度 \(\omega\) 之间的关系为 \(v = R_2 \omega\)。
步骤 2：应用动能定理
动能定理表明，外力对系统做的功等于系统动能的改变量。对于轮O和轮C组成的系统，外力偶M做的功为 \(M \theta\)，其中 \(\theta\) 是轮O转过的角度。轮心C走过路程s时，轮O转过的角度为 \(\theta = \frac{s}{R_2}\)。因此，外力偶M做的功为 \(M \frac{s}{R_2}\)。系统动能的改变量为 \(\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2\)，其中 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 分别是轮O和轮C的角速度。由于轮C纯滚动，有 \(\omega_2 = \frac{v}{R_2}\)。因此，动能定理可以写为：
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \omega_1^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2\]
步骤 3：求解速度和加速度
由于轮O和轮C是刚性连接的，它们的角速度相等，即 \(\omega_1 = \omega_2 = \frac{v}{R_2}\)。将 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 代入动能定理的方程中，得到：
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} m_2 R_2^2 \left(\frac{v}{R_2}\right)^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 R_1^2 \frac{v^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2 v^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2\]
\[M \frac{s}{R_2} = \left(\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2\right) v^2\]
\[v^2 = \frac{M \frac{s}{R_2}}{\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2}\]
\[v = \sqrt{\frac{M \frac{s}{R_2}}{\frac{1}{2} m_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{1}{4} m_2}}\]
轮心C的加速度 \(a\) 可以通过速度对时间的导数得到，但由于题目没有给出时间信息，我们无法直接计算加速度。然而，加速度可以通过速度对路程的导数得到，即 \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds} v\)。由于 \(v\) 是 \(s\) 的函数，我们可以通过对 \(v\) 关于 \(s\) 的导数来计算加速度。然而，由于题目没有给出时间信息，我们无法直接计算加速度的数值。