题目
1.10 一质点在Oxy平面内运动,其运动学方程为 =2t, =19-2(t)^2, 式-|||-中t以s为单位,x、y以m为单位.求:-|||-(1)质点的轨迹方程;-|||-(2)2s末的位矢;-|||-(3)2s末的速度和加速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求质点的轨迹方程
从给定的运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，可以消去时间变量 $t$，得到质点的轨迹方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=\frac{x}{2}$。然后，将 $t=\frac{x}{2}$ 代入 $y=19-2{t}^{2}$ 中，得到 $y=19-2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}$，即 $y=19-0.5{x}^{2}$。
步骤 2：求2s末的位矢
将 $t=2s$ 代入运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，得到 $x=2\times2=4m$ 和 $y=19-2\times2^{2}=19-8=11m$。因此，2s末的位矢为 ${r}_{2}=(4i+11j)m$。
步骤 3：求2s末的速度和加速度
速度是位矢对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。从运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，可以得到速度分量 $v_x=\frac{dx}{dt}=2$ 和 $v_y=\frac{dy}{dt}=-4t$。将 $t=2s$ 代入，得到 $v_x=2m/s$ 和 $v_y=-4\times2=-8m/s$。因此，2s末的速度为 $(2i-8j)m\cdot{s}^{-1}$。从速度分量中，可以得到加速度分量 $a_x=\frac{dv_x}{dt}=0$ 和 $a_y=\frac{dv_y}{dt}=-4$。因此，2s末的加速度为 $-4jm\cdot{s}^{-2}$。
从给定的运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，可以消去时间变量 $t$，得到质点的轨迹方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=\frac{x}{2}$。然后，将 $t=\frac{x}{2}$ 代入 $y=19-2{t}^{2}$ 中，得到 $y=19-2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}$，即 $y=19-0.5{x}^{2}$。
步骤 2：求2s末的位矢
将 $t=2s$ 代入运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，得到 $x=2\times2=4m$ 和 $y=19-2\times2^{2}=19-8=11m$。因此，2s末的位矢为 ${r}_{2}=(4i+11j)m$。
步骤 3：求2s末的速度和加速度
速度是位矢对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。从运动学方程 $x=2t$ 和 $y=19-2{t}^{2}$ 中，可以得到速度分量 $v_x=\frac{dx}{dt}=2$ 和 $v_y=\frac{dy}{dt}=-4t$。将 $t=2s$ 代入，得到 $v_x=2m/s$ 和 $v_y=-4\times2=-8m/s$。因此，2s末的速度为 $(2i-8j)m\cdot{s}^{-1}$。从速度分量中，可以得到加速度分量 $a_x=\frac{dv_x}{dt}=0$ 和 $a_y=\frac{dv_y}{dt}=-4$。因此，2s末的加速度为 $-4jm\cdot{s}^{-2}$。