题目
设入射波的表达式为 y_1=Acos[2pi (vt+(x)/(lambda )+pi )] ，波在x=0处反射，反射点为一固定端，则①反射波的表达式为 ；②驻波的表达式为 ；③入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为 。
设入射波的表达式为$ y_1=Acos[2\pi (vt+\frac{x}{\lambda }+\pi )] $，波在x=0处反射，反射点为一固定端，则
①反射波的表达式为 ；
②驻波的表达式为 ；
③入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为 。
题目解答
答案
①$ y_2=Acos2\pi (vt-\frac{x}{\lambda } ) $；
②$ y=y_1+y_2 $$ =2Acos(2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} )cos(2\pi vt+\frac{\pi}{2} ) $
③$ x=(2k-1)\frac{\lambda }{4} $
解析
步骤 1：确定反射波的表达式
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波相位差为$\pi$，且传播方向相反。因此，反射波的表达式为$ y_2=Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda }+\pi )] $。但考虑到反射点为固定端，反射波的相位差为$\pi$，所以反射波的表达式可以简化为$ y_2=Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda })] $。
步骤 2：确定驻波的表达式
驻波是入射波和反射波的叠加，即$ y=y_1+y_2 $。将入射波和反射波的表达式代入，得到$ y=Acos[2\pi (vt+\frac{x}{\lambda }+\pi )]+Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda })] $。利用三角函数的和差化积公式，可以得到$ y=2Acos(2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} )cos(2\pi vt+\frac{\pi}{2} ) $。
步骤 3：确定驻波的波腹所在处的坐标
波腹是驻波中振幅最大的点，对应于$ cos(2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} ) $的极值点。由于$ cos $函数的极值点为$ 2k\pi $，所以$ 2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} =2k\pi $，解得$ x=(2k-1)\frac{\lambda }{4} $。
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波相位差为$\pi$，且传播方向相反。因此，反射波的表达式为$ y_2=Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda }+\pi )] $。但考虑到反射点为固定端，反射波的相位差为$\pi$，所以反射波的表达式可以简化为$ y_2=Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda })] $。
步骤 2：确定驻波的表达式
驻波是入射波和反射波的叠加，即$ y=y_1+y_2 $。将入射波和反射波的表达式代入，得到$ y=Acos[2\pi (vt+\frac{x}{\lambda }+\pi )]+Acos[2\pi (vt-\frac{x}{\lambda })] $。利用三角函数的和差化积公式，可以得到$ y=2Acos(2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} )cos(2\pi vt+\frac{\pi}{2} ) $。
步骤 3：确定驻波的波腹所在处的坐标
波腹是驻波中振幅最大的点，对应于$ cos(2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} ) $的极值点。由于$ cos $函数的极值点为$ 2k\pi $，所以$ 2\pi \frac{x}{\lambda } +\frac{\pi}{2} =2k\pi $，解得$ x=(2k-1)\frac{\lambda }{4} $。