始态为25℃ 、200kPa的5mol某理想气体，经a、b两个不同途径到达相同的末态。途经a先经绝热膨胀到-28.57℃、100kPa过程的功(W)_(a)=-5.57kJ；再恒容加热到压力200kPa的末态，过程的热(Q)_(a)=25.42kJ。途径b为恒压加热过程。求途径b的W及Q。
始态为25℃ 、200kPa的5mol某理想气体，经a、b两个不同途径到达相同的末态。途经a先经绝热膨胀到-28.57℃、100kPa过程的功${W}_{a}=-5.57kJ$；再恒容加热到压力200kPa的末态，过程的热${Q}_{a}=25.42kJ$。途径b为恒压加热过程。求途径b的W及Q。
题目解答
答案
【答案】
$-7.83kJ$；$27.68kJ$
【解析】
设始态为$25{\,}^{\circ }\mathrm{C}$、$200kPa$、$5mol$某理想气体体积为${V}_{1}$，则有：
$\dfrac{{p}_{0}{V}_{0}}{{T}_{0}}=\dfrac{{p}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}$
带入数据：$\dfrac{100k{P}_{a}\times 22.4L\times 5}{273.15K}=\dfrac{200k{P}_{a}{V}_{1}}{\left(273.15+25\right)K}$
解之得：${V}_{1}=61.13L$
设理想气体经a先经绝热膨胀到-28.57℃、100kPa时气体体积为${V}_{2}$，则有：
$\dfrac{{p}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\dfrac{{p}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
带入数据：$\dfrac{200k{P}_{a}\times 61.13L}{\left(273.15+25\right)K}=\dfrac{200k{P}_{a}{V}_{2}}{\left(273.15-28.57\right)K}$
解之得：${V}_{2}=100.29L$
途径a由初状态到末状态，理想气体内能的变化量由热力学第一定律可知：
$\Delta U={W}_{a}+{Q}_{a}$
带入数据解之得：$\Delta U=19.85kJ$
途径b为恒压加热过程，理想气体体积增加，故：
${W}_{b}=-{p}_{1}\left({V}_{2}-{V}_{1}\right)=-2\times {10}^{5}{P}_{a}\times \left(100.29-61.13\right)\times {10}^{-3}{m}^{3}$
解之得：${W}_{b}=-7.83kJ$
途径a、b两个不同的途径，由初状态到末状态内能的变化量相同，由热力学第一定律可知：
$\Delta U={W}_{b}+{Q}_{b}$
带入数据解之得：${Q}_{b}=27.68kJ$
解析
考查要点：本题主要考查理想气体的热力学过程计算，涉及热力学第一定律、理想气体状态方程以及不同过程的功和热的计算。
解题核心思路：
- 确定始末态参数：通过理想气体状态方程计算始态和中间态的体积。
- 计算途径a的总内能变化：利用热力学第一定律，结合已知的功和热。
- 途径b的恒压过程计算：根据恒压过程的功公式和热力学第一定律求解。
破题关键点：
- 途径a的总内能变化是两种途径共同的桥梁，因为内能是状态函数。
- 恒压过程的功直接由体积变化决定，需注意单位换算。
步骤1：计算始态体积$V_1$
根据理想气体状态方程：
$\frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1}$
代入数据：
$\frac{100 \, \text{kPa} \times 22.4 \, \text{L/mol} \times 5}{273.15 \, \text{K}} = \frac{200 \, \text{kPa} \times V_1}{298.15 \, \text{K}}$
解得：
$V_1 = 61.13 \, \text{L}$
步骤2：计算途径a的总内能变化$\Delta U$
途径a的总功为绝热膨胀的功$W_a = -5.57 \, \text{kJ}$，总热为$Q_a = 25.42 \, \text{kJ}$，根据热力学第一定律：
$\Delta U = W_a + Q_a = -5.57 \, \text{kJ} + 25.42 \, \text{kJ} = 19.85 \, \text{kJ}$
步骤3：计算途径b的功$W_b$
途径b为恒压过程，功为：
$W_b = -p_1 \Delta V = -200 \, \text{kPa} \times (100.29 \, \text{L} - 61.13 \, \text{L})$
单位换算后：
$W_b = -2 \times 10^5 \, \text{Pa} \times 0.03916 \, \text{m}^3 = -7.83 \, \text{kJ}$
步骤4：计算途径b的热$Q_b$
根据热力学第一定律：
$\Delta U = W_b + Q_b \implies Q_b = \Delta U - W_b = 19.85 \, \text{kJ} - (-7.83 \, \text{kJ}) = 27.68 \, \text{kJ}$