题目
设w=Ln(1-i)，则Imw等于（） A (A.)-(pi)/(4); B (B.)2kpi-(pi)/(4),k=0,pm1,...; C (C.)(pi)/(4); D (D.)2kpi+(pi)/(4),k=0,pm1,....
设w=Ln(1-i)，则Imw等于（） A (
A.)$-\frac{\pi}{4}$; B (
B.)$2k\pi-\frac{\pi}{4},k=0,\pm1,\cdots$; C (
C.)$\frac{\pi}{4}$; D (
D.)$2k\pi+\frac{\pi}{4},k=0,\pm1,\cdots$.
A.)$-\frac{\pi}{4}$; B (
B.)$2k\pi-\frac{\pi}{4},k=0,\pm1,\cdots$; C (
C.)$\frac{\pi}{4}$; D (
D.)$2k\pi+\frac{\pi}{4},k=0,\pm1,\cdots$.
题目解答
答案
将复数 $1-i$ 转换为极坐标形式，其模 $r = \sqrt{2}$，幅角 $\theta = -\frac{\pi}{4}$。
复对数函数为 $\ln(z) = \ln(r) + i(\theta + 2k\pi)$，其中 $k$ 为整数。
对于 $z = 1-i$，有 $\ln(1-i) = \ln(\sqrt{2}) + i\left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)$。
虚部为 $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi = 2k\pi - \frac{\pi}{4}$，对应选项 **B**。
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：将复数 $1-i$ 转换为极坐标形式
复数 $1-i$ 的模 $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$，幅角 $\theta = -\frac{\pi}{4}$，因为 $1-i$ 位于第四象限。
步骤 2：计算复对数函数
复对数函数为 $\ln(z) = \ln(r) + i(\theta + 2k\pi)$，其中 $k$ 为整数。 对于 $z = 1-i$，有 $\ln(1-i) = \ln(\sqrt{2}) + i\left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)$。
步骤 3：确定虚部
虚部为 $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi = 2k\pi - \frac{\pi}{4}$，对应选项 **B**。
复数 $1-i$ 的模 $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$，幅角 $\theta = -\frac{\pi}{4}$，因为 $1-i$ 位于第四象限。
步骤 2：计算复对数函数
复对数函数为 $\ln(z) = \ln(r) + i(\theta + 2k\pi)$，其中 $k$ 为整数。 对于 $z = 1-i$，有 $\ln(1-i) = \ln(\sqrt{2}) + i\left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)$。
步骤 3：确定虚部
虚部为 $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi = 2k\pi - \frac{\pi}{4}$，对应选项 **B**。