题目
题8.9图题8.10图10题8.10图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内、外半径分别为a,b,导体内载有沿轴线方向的电流I,且I均匀地分布在管的横截面上,设导体的磁导率μo,试证明导体内部各点(a<r<b)的磁感应强度的大小由下式给出
题8.9图
题8.10图
10题8.10图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内、外半径分别
为a,b,导体内载有沿轴线方向的电流I,且I均匀地分布在管的横截面上,设导体
的磁导率μo,试证明导体内部各点(a<r<b)的磁感应强度的大小由下式给出
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流分布
电流I均匀分布在圆管形导体的横截面上，因此电流密度J与横截面的面积成正比。电流密度J可以表示为：$J = \frac{I}{\pi (b^2 - a^2)}$，其中b是外半径，a是内半径。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，磁感应强度B与闭合回路的电流成正比。对于一个半径为r的圆环，磁感应强度B与圆环的电流成正比。因此，我们可以通过计算圆环内的电流来确定磁感应强度B。圆环内的电流可以表示为：$I_{\text{enc}} = J \times \pi (r^2 - a^2)$。
步骤 3：计算磁感应强度B
根据安培环路定理，磁感应强度B与闭合回路的电流成正比，即：$\oint \overline{B} \cdot d\overline{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$。对于一个半径为r的圆环，磁感应强度B与圆环的电流成正比，即：$B \times 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}$。将步骤2中的电流代入，得到：$B \times 2\pi r = \mu_0 \times J \times \pi (r^2 - a^2)$。将电流密度J代入，得到：$B \times 2\pi r = \mu_0 \times \frac{I}{\pi (b^2 - a^2)} \times \pi (r^2 - a^2)$。化简得到：$B = \frac{\mu_0 I (r^2 - a^2)}{2\pi (b^2 - a^2)}$。
电流I均匀分布在圆管形导体的横截面上，因此电流密度J与横截面的面积成正比。电流密度J可以表示为：$J = \frac{I}{\pi (b^2 - a^2)}$，其中b是外半径，a是内半径。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，磁感应强度B与闭合回路的电流成正比。对于一个半径为r的圆环，磁感应强度B与圆环的电流成正比。因此，我们可以通过计算圆环内的电流来确定磁感应强度B。圆环内的电流可以表示为：$I_{\text{enc}} = J \times \pi (r^2 - a^2)$。
步骤 3：计算磁感应强度B
根据安培环路定理，磁感应强度B与闭合回路的电流成正比，即：$\oint \overline{B} \cdot d\overline{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$。对于一个半径为r的圆环，磁感应强度B与圆环的电流成正比，即：$B \times 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}$。将步骤2中的电流代入，得到：$B \times 2\pi r = \mu_0 \times J \times \pi (r^2 - a^2)$。将电流密度J代入，得到：$B \times 2\pi r = \mu_0 \times \frac{I}{\pi (b^2 - a^2)} \times \pi (r^2 - a^2)$。化简得到：$B = \frac{\mu_0 I (r^2 - a^2)}{2\pi (b^2 - a^2)}$。