题目
设在右半平面 gt 0 中有一力场 = yf(x),-xf(x) , f(x)为可微-|||-函数,且 (1)=1, 求f(x)使质点在此场内移动时场力所作的功与路径无关,-|||-再计算质点由(1,0)移动到(2,3)时场力所作的功.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定场力F所作的功
场力F所作的功 $W={\int }_{E}^{F}\cdot dr={\int }_{2}^{y}f(x)dx-xf(x)dy={\int }_{L}f(x)(ydx-xdy)$
步骤 2：确定场力F所作的功与路径无关的条件
要使力所作的功与路径无关,只需 $\dfrac {\partial [ f(x)y] }{\partial y}=\dfrac {\partial [ -f(x)x] }{\partial x}$ 即 $f(x)=-f(x)-xf'(x)\Longrightarrow 2f(x)=-xf'(x)$
步骤 3：求解f(x)
解得 $\ln f(x)=-2\ln x+\ln c\Longrightarrow f(x)=c{x}^{-2}$ (c为任意正数). $\because f(1)=1$ $\therefore c=1$, ,则 $f(x)={x}^{-2}$ 为所求
步骤 4：计算质点由(1,0)移动到(2,3)时场力所作的功
那么所求功为 $W={\int }_{(1.0)}^{(-2)}(x)(ydx-xdy)=[ \dfrac {-y}{x}] {|}_{(1,0)}=-\dfrac {3}{2}$
场力F所作的功 $W={\int }_{E}^{F}\cdot dr={\int }_{2}^{y}f(x)dx-xf(x)dy={\int }_{L}f(x)(ydx-xdy)$
步骤 2：确定场力F所作的功与路径无关的条件
要使力所作的功与路径无关,只需 $\dfrac {\partial [ f(x)y] }{\partial y}=\dfrac {\partial [ -f(x)x] }{\partial x}$ 即 $f(x)=-f(x)-xf'(x)\Longrightarrow 2f(x)=-xf'(x)$
步骤 3：求解f(x)
解得 $\ln f(x)=-2\ln x+\ln c\Longrightarrow f(x)=c{x}^{-2}$ (c为任意正数). $\because f(1)=1$ $\therefore c=1$, ,则 $f(x)={x}^{-2}$ 为所求
步骤 4：计算质点由(1,0)移动到(2,3)时场力所作的功
那么所求功为 $W={\int }_{(1.0)}^{(-2)}(x)(ydx-xdy)=[ \dfrac {-y}{x}] {|}_{(1,0)}=-\dfrac {3}{2}$