.5-5 如图所示,在与水平面成α角的光滑斜面上放一质量为m的物体,此物体系于一劲度系数-|||-为k的轻弹簧的一端,弹簧的另一端固定.设物体最初静止今使物体获得一沿斜面向下的速度,设起始-|||-动能为Ek0,试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能.-|||-解:-|||-k-|||-m-|||-α-|||-题 5-5 图

考查要点：本题主要考查能量守恒定律在弹簧与斜面系统中的应用，涉及重力势能、弹性势能和动能的转化关系。

解题核心思路：

1. 确定初始状态：物体静止时处于弹簧的平衡位置，此时弹簧伸长量为 $x_0 = \dfrac{mg \sin \alpha}{k}$。
2. 机械能守恒：系统中只有保守力（重力、弹簧弹力）做功，总机械能（动能 + 重力势能 + 弹性势能）保持不变。
3. 能量关系：初始动能 $E_{k0}$ 加上初始弹性势能，等于最终动能、弹性势能及重力势能变化的总和。

破题关键点：

• 平衡位置的确定：初始时刻物体静止，弹簧弹力与重力沿斜面分力平衡。
• 能量转换路径：动能转化为弹性势能和重力势能，需注意初始弹性势能的计算。

步骤1：确定初始平衡位置

物体静止时，弹簧弹力与重力沿斜面分力平衡：
$kx_0 = mg \sin \alpha \implies x_0 = \dfrac{mg \sin \alpha}{k}$
此时弹簧的弹性势能为：
$E_{\text{弹初}} = \dfrac{1}{2}k x_0^2 = \dfrac{(mg \sin \alpha)^2}{2k}$

步骤2：机械能守恒方程

初始总机械能为动能 $E_{k0}$ 加上初始弹性势能：
$E_{\text{初}} = E_{k0} + \dfrac{(mg \sin \alpha)^2}{2k}$

当弹簧伸长 $x$ 时，总机械能为：
$E_{\text{末}} = E_k + \dfrac{1}{2}k x^2 - mg x \sin \alpha$
其中：

• 弹性势能：$\dfrac{1}{2}k x^2$
• 重力势能变化：物体沿斜面向下移动 $x$，重力做正功，势能减少 $mg x \sin \alpha$

根据机械能守恒 $E_{\text{初}} = E_{\text{末}}$，得：
$E_{k0} + \dfrac{(mg \sin \alpha)^2}{2k} = E_k + \dfrac{1}{2}k x^2 - mg x \sin \alpha$

步骤3：解方程求最终动能

整理得：
$E_k = E_{k0} + mg x \sin \alpha - \dfrac{1}{2}k x^2 - \dfrac{(mg \sin \alpha)^2}{2k}$