题目
质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上.平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动,转动惯量为J.平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时,则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为A. omega=(mR^2)/(J+mR^2)((v)/(R)), 逆时针.B. omega=(mR^2)/(J)((v)/(R)), 逆时针.C. omega=(mR^2)/(J+mR^2)((v)/(R)), 顺时针.D. omega=(mR^2)/(J)((v)/(R)), 顺时针.
质量为$m$的小孩站在半径为$R$的水平平台边缘上.平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动,转动惯量为$J$.平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对于地面为$v$的速率在台边缘沿逆时针转向走动时,则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
A. $\omega=\frac{mR^2}{J+mR^2}\left(\frac{v}{R}\right)$, 逆时针.
B. $\omega=\frac{mR^2}{J}\left(\frac{v}{R}\right)$, 逆时针.
C. $\omega=\frac{mR^2}{J+mR^2}\left(\frac{v}{R}\right)$, 顺时针.
D. $\omega=\frac{mR^2}{J}\left(\frac{v}{R}\right)$, 顺时针.
题目解答
答案
系统初态总角动量为零。当小孩以速率 $ v $ 逆时针运动时，其相对于地面的角动量为 $ L_{\text{孩}} = mRv $（逆时针为正）。设平台角速度为 $ \omega $，则其角动量为 $ L_{\text{台}} = J\omega $。根据角动量守恒：
\[
L_{\text{总}} = L_{\text{孩}} + L_{\text{台}} = 0
\]
即：
\[
mRv + J\omega = 0
\]
解得：
\[
\omega = -\frac{mRv}{J}
\]
负号表示平台旋转方向与小孩相反，即顺时针。将 $ v $ 表示为 $ v = R\omega_{\text{孩}} $，可得：
\[
\omega = -\frac{mR^2}{J} \cdot \frac{v}{R}
\]
因此，平台的角速度为 $ \omega = \frac{mR^2}{J} \left( \frac{v}{R} \right) $，方向为顺时针。
答案：D. $ \omega = \frac{mR^2}{J} \left( \frac{v}{R} \right) $，顺时针。