(2017，数二、三)求极限lim_(xto0^+)(int_(0)^xsqrt(x-t)e^tdt)/(sqrt(x^3)).

为了求极限 $\lim_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^{t}dt}{\sqrt{x^{3}}}$，我们首先设 $I(x) = \int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^{t}dt$。这样，极限可以重写为 $\lim_{x\to0^{+}}\frac{I(x)}{\sqrt{x^3}}$。 由于当 $x \to 0^+$ 时，分子 $I(x)$ 和分母 $\sqrt{x^3}$ 都趋于 0，我们可以使用洛必达法则。根据洛必达法则，我们需要求 $I(x)$ 和 $\sqrt{x^3}$ 的导数。 首先，我们求 $I(x)$ 的导数。根据积分的莱布尼茨法则，如果 $I(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt$，那么 \[ I'(x) = f(x, b(x)) b'(x) - f(x, a(x)) a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \, dt. \] 在我们的情况下，$a(x) = 0$，$b(x) = x$，且 $f(x, t) = \sqrt{x-t} e^t$。因此， \[ I'(x) = \sqrt{x-x} e^x \cdot 1 - \sqrt{x-0} e^0 \cdot 0 + \int_{0}^{x} \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{x-t} e^t \right) \, dt = 0 + 0 + \int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt = \int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt. \] 接下来，我们求 $\sqrt{x^3}$ 的导数： \[ \left( \sqrt{x^3} \right)' = \left( x^{3/2} \right)' = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2} \sqrt{x}. \] 现在，我们可以应用洛必达法则： \[ \lim_{x\to0^{+}}\frac{I(x)}{\sqrt{x^3}} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{I'(x)}{\left( \sqrt{x^3} \right)'} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt}{\frac{3}{2} \sqrt{x}} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{3\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} \, dt. \] 为了求这个极限，我们做一个代换 $u = \frac{t}{x}$，所以 $t = xu$ 且 $dt = x \, du$。当 $t = 0$ 时，$u = 0$；当 $t = x$ 时，$u = 1$。因此，积分变为 \[ \int_{0}^{x} \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{x-xu}} \, x \, du = \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{x(1-u)}} \, x \, du = \sqrt{x} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1-u}} \, du. \] 将这个结果代回极限中，我们得到 \[ \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{3\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} \, dt = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{3\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1-u}} \, du = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1-u}} \, du. \] 由于 $e^{xu} \to e^0 = 1$ 当 $x \to 0^+$，我们有 \[ \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1-u}} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u}} \, du. \] 这个积分可以计算为 \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u}} \, du = \left[ -2\sqrt{1-u} \right]_{0}^{1} = -2\sqrt{1-1} + 2\sqrt{1-0} = 2. \] 因此，极限是 \[ \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}. \] 所以，答案是 $\boxed{\frac{2}{3}}$。