设康普顿效应中,入射X射线的波长 λ_o=0. 0700 nm,散射的X射线的波长λ=0.0724 nm。求:(1)光子散射角;(2）反冲电子的动能Ek。

考查要点：本题主要考查康普顿效应的基本公式应用，包括散射角的计算和反冲电子动能的求解。

解题核心思路：

1. 散射角计算：利用康普顿波长公式 $\Delta \lambda = 2\lambda_C \sin^2(\theta/2)$，通过已知的波长差 $\Delta \lambda$ 和康普顿波长 $\lambda_C$，反推出散射角 $\theta$。
2. 电子动能计算：根据能量守恒，电子的动能等于光子能量的减少量，即 $E_k = \frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda}$。

破题关键点：

• 公式选择：正确区分康普顿效应中的波长变化公式和能量守恒关系。
• 单位统一：确保所有物理量单位一致（如波长转换为米）。
• 计算细节：注意公式变形和三角函数求解过程中的数学处理。

第（1）题：光子散射角

康普顿波长公式

根据康普顿公式：
$\Delta \lambda = 2\lambda_C \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$
其中 $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 0.0724 \, \text{nm} - 0.0700 \, \text{nm} = 0.0024 \, \text{nm}$，康普顿波长 $\lambda_C = 0.0024 \, \text{nm}$。

代入求解

将已知值代入公式：
$0.0024 = 2 \cdot 0.0024 \cdot \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$
化简得：
$\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{0.0024}{2 \cdot 0.0024} = \frac{1}{2}$
进一步求解：
$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \frac{\theta}{2} = 45^\circ \implies \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$

第（2）题：反冲电子的动能

能量守恒关系

电子的动能等于光子能量的减少量：
$E_k = \frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda}$
其中 $h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$，$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$，$\lambda_0 = 0.0700 \, \text{nm} = 0.0700 \times 10^{-9} \, \text{m}$，$\lambda = 0.0724 \, \text{nm} = 0.0724 \times 10^{-9} \, \text{m}$。

代入计算

$E_k = 6.63 \times 10^{-34} \cdot 3 \times 10^8 \left( \frac{1}{0.0700 \times 10^{-9}} - \frac{1}{0.0724 \times 10^{-9}} \right)$
计算得：
$E_k \approx 9.42 \times 10^{-17} \, \text{J}$