6-37 半径为R1的导体球带有电荷q,球外有一个内、外半径为R2、R3的同心导-|||-体球壳,壳上带有电荷Q,如图所示。求:(1)两球的电势V1及V2 ;(2)两球的电势差-|||-Delta W; (3)用导线把球和壳连接在一起后,V1、V2及 △V 分别为多少?(4)在情形(1)、-|||-(2)中,若外球接地,V1 V2及 △V 又各为多少?(5)设外球离地面很远,若内球接地,情-|||-况如何?-|||-Q-|||-q-|||-R-|||-R2-|||-R-|||-习题 6-37 图

步骤 1：计算内球的电势V1
内球的电势由其自身电荷q和外球壳的电荷Q贡献。根据电势叠加原理，内球的电势V1可以表示为：
$$
V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} + \frac{q+Q}{R_3} \right)
$$
其中，第一项是内球自身电荷q在球心产生的电势，第二项是内球电荷q在球壳内表面产生的电势，第三项是球壳电荷Q在球心产生的电势。

步骤 2：计算外球壳的电势V2
外球壳的电势由其自身电荷Q贡献。根据电势叠加原理，外球壳的电势V2可以表示为：
$$
V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q+Q}{R_3}
$$
其中，第一项是球壳电荷Q在球壳外表面产生的电势。

步骤 3：计算两球的电势差ΔV
两球的电势差ΔV为内球电势V1减去外球壳电势V2，即：
$$
\Delta V = V_1 - V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} \right)
$$

步骤 4：用导线连接球和壳后，计算V1、V2及ΔV
当用导线连接球和壳后，两球的电势相等，即V1 = V2。此时，两球的电势为：
$$
V_1 = V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q+Q}{R_3}
$$
电势差ΔV为0。

步骤 5：外球接地时，计算V1、V2及ΔV
当外球接地时，外球的电势V2为0。此时，内球的电势V1为：
$$
V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} \right)
$$
电势差ΔV为：
$$
\Delta V = V_1 - V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} \right)
$$

步骤 6：内球接地时，计算V1、V2及ΔV
当内球接地时，内球的电势V1为0。此时，外球的电势V2为：
$$
V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q(R_2 - R_1)}{R_1 R_2 + R_2 R_3 - R_1 R_3}
$$
电势差ΔV为：
$$
\Delta V = V_1 - V_2 = -V_2
$$