8.设X1,X2,···,Xn是来自总体N(μ,σ^2 )的简单随机样本,X是样本均值,记 ({S)_(1)}^2=-|||-dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 ({S)_(2)}^2=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2, ({S)_(3)}^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2, ({S)_(4)}^2=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2,-|||-则服从自由度 n-1 的t分布的随机变量 = ()-|||-(A) dfrac (x-mu )({S)_(1)/sqrt (n-1)} (B) dfrac (x-mu )({S)_(2)/sqrt (n-1)}-|||-(C) dfrac (x-mu )({S)_(3)/sqrt (n-1)} ; (D) dfrac (x-mu )({S)_(4)/sqrt (n-1)}

本题主要考察t分布的定义及样本方差的性质，需明确t分布的构造形式：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(k)$且$Z$与$Y$独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{Y/k}}\sim t(k)$。

关键分析

1. 样本均值与总体均值的关系：
   样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，标准化得$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。

2. 样本方差的分布：

   • $S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$是样本方差，满足$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，即$\frac{nS_2^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$（因$S_2^2=\frac{n-1}{n}S_1^2$）。
   • $S_3^2,S_4^2$含总体均值$\mu$，不属于样本方差，$\frac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$，自由度为$n$，不符合t分布的自由度要求。

3. 选项验证：

   • 选项A：$S_1/\sqrt{n-1}=\sqrt{\frac{S_1^2}{n-1}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（渐近），但$\frac{\overline{X}-\mu}{S_1/\sqrt{n-1}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}/\frac{S_1}{\sqrt{n-1}}$，分母非$\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}$，不服从t分布。
   • 选项B：$S_2/\sqrt{n-1}=\sqrt{\frac{S_2^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{\sum(X_i-\overline{X})^2}{n(n-1)}}$，则$\frac{\overline{X}-\mu}{S_2/\sqrt{n-1}}=\frac{Z}{\sqrt{\frac{(nS_2^2/\sigma^2)}{n(n-1)}}}\sim t(n-1)$，符合t分布定义。
   • 选项C、D：$S_3,S_4$对应自由度为$n$的$\chi^2$分布，代入后自由度不为$n-1$，排除。