题目

6.设数列a_{n)},b_{n)}对任意的正整数n满足a_(n)leqslant b_(n)leqslant a_(n+1),则(A)数列a_{n)},b_{n)}均收敛，且lim_(n to infty)a_(n)=lim_(n to infty)b_(n).(B)数列a_{n)},b_{n)}均发散，且lim_(n to infty)a_(n)=lim_(n to infty)b_(n)=+infty.(C)数列a_{n)},b_{n)}具有相同的敛散性.(D)数列a_{n)},b_{n)}具有不同的敛散性.

6.设数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$对任意的正整数n满足$a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant a_{n+1},$则 (A)数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$均收敛，且$\lim_{n \to \infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}b_{n}.$ (B)数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$均发散，且$\lim_{n \to \infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}b_{n}=+\infty.$ (C)数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$具有相同的敛散性. (D)数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$具有不同的敛散性.

题目解答

答案

由条件 $a_n \leq b_n \leq a_{n+1}$，数列 $\{a_n\}$ 单调递增。 - **若 $\{a_n\}$ 收敛**：设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则 $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} b_n = L$，即 $\{b_n\}$ 收敛。 - **若 $\{a_n\}$ 发散**： - **发散到 $+\infty$**：对任意 $M$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$a_n > M$，故 $b_n \geq a_n > M$，$\{b_n\}$ 也发散到 $+\infty$。 - **振荡或其他发散**：$\{b_n\}$ 被 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 约束，具有相同敛散性。 综上，$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 具有相同的敛散性，选 **C**。 $\boxed{\text{C}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列的单调性、收敛性及夹逼定理的应用，重点在于通过给定的不等式关系分析两个数列的敛散性关系。

解题核心思路：

  1. 确定数列$\{a_n\}$的单调性：由$a_n \leq b_n \leq a_{n+1}$可推出$\{a_n\}$单调递增。
  2. 分情况讨论$\{a_n\}$的收敛性：
    • 若$\{a_n\}$收敛，则$\{b_n\}$由夹逼定理也收敛且极限相同。
    • 若$\{a_n\}$发散（必为发散到$+\infty$），则$\{b_n\}$被$\{a_n\}$约束，同步发散。
  3. 结论：$\{a_n\}$与$\{b_n\}$的敛散性完全一致。

破题关键点：

  • 抓住$\{a_n\}$的单调性，这是分析收敛性的基础。
  • 利用夹逼定理和发散的传递性，将$\{b_n\}$的敛散性与$\{a_n\}$关联。

步骤1：分析数列$\{a_n\}$的单调性

由条件$a_n \leq b_n \leq a_{n+1}$，对任意正整数$n$成立，可得：
$a_n \leq a_{n+1}.$
因此，数列$\{a_n\}$是单调递增的。

步骤2：分情况讨论$\{a_n\}$的收敛性

情况1：$\{a_n\}$收敛

设$\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$。
由$a_n \leq b_n \leq a_{n+1}$，根据夹逼定理，得：
$\lim_{n \to \infty} b_n = L.$
因此，$\{b_n\}$也收敛，且极限与$\{a_n\}$相同。

情况2：$\{a_n\}$发散

由于$\{a_n\}$单调递增且发散，必有$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$。
对任意$M > 0$，存在$N$，当$n > N$时，$a_n > M$。
由$a_n \leq b_n$，得$b_n \geq a_n > M$，故$\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty$。
因此，$\{b_n\}$也发散到$+\infty$。

步骤3：综合结论

无论$\{a_n\}$收敛还是发散，$\{b_n\}$均与其具有相同的敛散性。因此选项C正确。