题目
设曲面 =(x)^2+(y)^2在 ( 1 , -2 , 5 ) 处的切平面与平面 ax - 4 y - z = 3 平行则 a =2
设曲面 
在 ( 1 , -2 , 5 ) 处的切平面与平面 ax - 4 y - z = 3 平行则 a =2
题目解答
答案
首先求出切平面方程的法向量，
又该切平面过点 ( 1 , -2 , 5 )
得切平面方程为
又两平面平行，两平面得法向量平行,
平面 ax - 4 y - z = 3 中的 a=2
解析
步骤 1：求出曲面在给定点处的法向量
给定曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$，在点 (1, -2, 5) 处，我们首先求出曲面的法向量。曲面可以表示为 $F(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-z$。法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过计算 $F$ 的偏导数得到，即 $\overrightarrow{n}=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$。因此，$\overrightarrow{n}=(2x,2y,-1)$。将点 (1, -2, 5) 代入，得到 $\overrightarrow{n}=(2,-4,-1)$。
步骤 2：确定切平面方程
由于法向量 $\overrightarrow{n}=(2,-4,-1)$，切平面方程可以表示为 $2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0$。简化后得到 $2x-4y-z=5$。
步骤 3：比较切平面与给定平面的法向量
给定平面的方程为 $ax-4y-z=3$，其法向量为 $(a,-4,-1)$。由于切平面与给定平面平行，它们的法向量也必须平行。因此，$(2,-4,-1)$ 与 $(a,-4,-1)$ 平行，这意味着 $a=2$。
给定曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$，在点 (1, -2, 5) 处，我们首先求出曲面的法向量。曲面可以表示为 $F(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-z$。法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过计算 $F$ 的偏导数得到，即 $\overrightarrow{n}=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$。因此，$\overrightarrow{n}=(2x,2y,-1)$。将点 (1, -2, 5) 代入，得到 $\overrightarrow{n}=(2,-4,-1)$。
步骤 2：确定切平面方程
由于法向量 $\overrightarrow{n}=(2,-4,-1)$，切平面方程可以表示为 $2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0$。简化后得到 $2x-4y-z=5$。
步骤 3：比较切平面与给定平面的法向量
给定平面的方程为 $ax-4y-z=3$，其法向量为 $(a,-4,-1)$。由于切平面与给定平面平行，它们的法向量也必须平行。因此，$(2,-4,-1)$ 与 $(a,-4,-1)$ 平行，这意味着 $a=2$。