95有一轻弹簧,下面悬挂质量为10g的物体时,伸长为49cm.用这个弹簧和个质量为8.0g的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后,给予向上的初速度v0=5.0cm/s,求振动周期和振动表达式

本题主要考察弹簧振子的周期计算及振动表达式的推导，涉及胡克定律、简谐运动的基本公式及初始条件的应用，具体思路如下：

步骤1：计算弹簧劲度系数$k$

根据胡克定律定律$F=kx$，悬挂物体时弹簧弹力等于重力：
$k=\frac{m_1g}{x_1}$ }]
其中$m_1=10\,\text{g}=0.01\,\text{kg}$，$x_1=49\,\text{cm}=0.49\,\text{m}$，代入得：
$k=\frac{0.01\times9.8}{0.49}=0.2\,\text{N/m}$

步骤2：计算振动周期$T$的计算

弹簧振子角频率$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$，周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$。
小球质量$m=8.0\,\text{g}=0.008\,\text{kg}$，则：
$\omega=\sqrt{\frac{0.2}{0.008}}=5\,\text{rad/s}$
$T=\frac{2\pi}{5}\approx1.26\,\text{s}$

步骤3：确定振动表达式$x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

振幅$A$的计算

初始条件：$t=0$时，$x_0=-1.0\,\text{cm}=-0.01\,\text{m}$（向下为负，向上为正），$v_0=5.0\,\text{cm/s=0.05\,\text{m/s}$（向上为正）。
振幅公式：
$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$
代入得：
$A=\sqrt{(-0.01)^2+\left(\frac{0.05}{5}\right)^2}=\sqrt{(0.01)^2+(0.01)^2}=\sqrt{2}\times10^{-2}\,\text{m}$

初相位$\varphi_0$计算

由$x_0=A\cos\varphi_0$和$v_0=-A\omega\sin\varphi_0$：
$\cos\varphi_0=\frac{x_0}{A}=\frac{-0.01}{\sqrt{2}\times0.01}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$v_0=-A\omega\sin\varphi_0\Rightarrow\sin\varphi_0=-\frac{v_0}{A\omega}=-\frac{0.05}{\sqrt{2}\times0.01\times5}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
满足$\cos\varphi_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$且$\sin\varphi_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$的$\varphi_0=\frac{5\pi}{4}\pi$。

最终振动表达式

$x=\sqrt{2}\times10^{-2}\cos\left(5t+\frac{5}{4}\pi\right)\,\text{m}$