题目

一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为boldsymbol(r)(t)=acosomega tboldsymbol(i)+bsinomega tboldsymbol(j)。求：t=0到t=pi/2omega时间内质点所受的合力的冲量。

一质量为$m$的质点在$xOy$平面上运动，其位置矢量为$\boldsymbol{r}(t)=a\cos\omega t\boldsymbol{i}+b\sin\omega t\boldsymbol{j}$。求：$t=0$到$t=\pi/2\omega$时间内质点所受的合力的冲量。

题目解答

答案

根据动量定理，质点所受合力的冲量等于其动量变化量。解题路径如下：

  1. 求速度函数
    对位置矢量 $\vec{r}(t) = a \cos(\omega t) \, \vec{i} + b \sin(\omega t) \, \vec{j}$ 求导，得速度：
    $\vec{v}(t) = -a \omega \sin(\omega t) \, \vec{i} + b \omega \cos(\omega t) \, \vec{j}$

  2. 计算初末时刻动量

  • 初始时刻 $t=0$：$\vec{v}(0) = b \omega \, \vec{j}$，故 $\vec{p}_1 = m b \omega \, \vec{j}$
  • 末时刻 $t=\frac{\pi}{2\omega}$：$\vec{v}\left( \frac{\pi}{2\omega} \right) = -a \omega \, \vec{i}$，故 $\vec{p}_2 = -m a \omega \, \vec{i}$
  1. 应用动量定理求冲量
    $\vec{I} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = -m a \omega \, \vec{i} - m b \omega \, \vec{j}$

该结果亦可通过先求加速度、力再积分验证，结果一致。

解析

本题考查动量定理的应用，解题的关键思路是先通过对位置矢量求导得到速度函数，再根据速度函数求出初末时刻的动量，最后利用动量定理计算合力的冲量。

  1. 求速度函数：
    已知质点的位置矢量为$\boldsymbol{r}(t)=a\cos\omega t\boldsymbol{i}+b\sin\omega t\boldsymbol{j}$，根据速度的定义$\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}$，对位置矢量求导：
    • 对于$x$方向的分量$x = a\cos\omega t$，根据求导公式$(\cos u)^\prime=-\sin u\cdot u^\prime$，这里$u = \omega t$，$u^\prime=\omega$，则$\frac{dx}{dt}=-a\omega\sin\omega t$。
    • 对于$y$方向的分量$y = b\sin\omega t$，根据求导公式$(\sin u)^\prime=\cos u\cdot u^\prime$，这里$u = \omega t$，$u^\prime=\omega$，则$\frac{dy}{dt}=b\omega\cos\omega t$。
    • 所以速度函数为$\boldsymbol{v}(t)=-a\omega\sin\omega t\boldsymbol{i}+b\omega\cos\omega t\boldsymbol{j}$。
  2. 计算初末时刻动量：
    • 初始时刻$t = 0$，将$t = 0$代入速度函数$\boldsymbol{v}(t)$中，可得$\boldsymbol{v}(0)=-a\omega\sin(0)\boldsymbol{i}+b\omega\cos(0)\boldsymbol{j}$。
      因为$\sin(0)=0$，$\cos(0)=1$，所以$\boldsymbol{v}(0)=b\omega\boldsymbol{j}$。
      根据动量的定义$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$，则初始动量$\boldsymbol{p}_1 = m\boldsymbol{v}(0)=mb\omega\boldsymbol{j}$。
    • 末时刻$t=\frac{\pi}{2\omega}$，将$t=\frac{\pi}{2\omega}$代入速度函数$\boldsymbol{v}(t)$中，可得$\boldsymbol{v}(\frac{\pi}{2\omega})=-a\omega\sin(\frac{\pi}{2})\boldsymbol{i}+b\omega\cos(\frac{\pi}{2})\boldsymbol{j}$。
      因为$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$，$\cos(\frac{\pi}{2})=0$，所以$\boldsymbol{v}(\frac{\pi}{2\omega})=-a\omega\boldsymbol{i}$。
      则末动量$\boldsymbol{p}_2 = m\boldsymbol{v}(\frac{\pi}{2\omega})=-ma\omega\boldsymbol{i}$。
  3. 应用动量定理求冲量：
    根据动量定理$\boldsymbol{I}=\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1$，将$\boldsymbol{p}_1 = mb\omega\boldsymbol{j}$和$\boldsymbol{p}_2=-ma\omega\boldsymbol{i}$代入可得：
    $\boldsymbol{I}=-ma\omega\boldsymbol{i}-mb\omega\boldsymbol{j}$。