题目

下列积分int_(2)^infty(dx)/(sqrt(x))、int_(1)^inftye^xdx、int_(0)^1(dx)/(sqrt(x))与int_(1)^3(dx)/((x-2)^2)中收敛的有(). A 2个 B 4个 C 3个 D 1个

下列积分$\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}$、$\int_{1}^{\infty}e^{x}dx$、$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$与$\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-2)^{2}}$中收敛的有().

A 2个

B 4个

C 3个

D 1个

题目解答

答案

为了确定给定的积分中哪些是收敛的，我们需要分别分析每个积分。让我们一步步地进行分析。 1. **积分 $\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}}$:** 这是一个反常积分，因为上限是无穷大。我们可以这样计算： \[ \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{b \to +\infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{b \to +\infty} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{2}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left( 2\sqrt{b} - 2\sqrt{2} \right) = +\infty. \] 由于极限是无穷大，积分发散。 2. **积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{e^x dx}{x}$:** 这也是一个反常积分，因为上限是无穷大。为了确定其敛散性，我们可以使用比较测试。对于 $x \geq 1$，有 $\frac{e^x}{x} \geq \frac{e^x}{e^x} = 1$。由于 $\int_{1}^{+\infty} 1 \, dx$ 发散，根据比较测试，$\int_{1}^{+\infty} \frac{e^x dx}{x}$ 也发散。 3. **积分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$:** 这是一个反常积分，因为被积函数在 $x = 0$ 处有垂直渐近线。我们可以这样计算： \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a \to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{a}^{1} = \lim_{a \to 0^+} \left( 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a} \right) = 2. \] 由于极限是一个有限数，积分收敛。 4. **积分 $\int_{1}^{3} \frac{dx}{(x-2)^2}$:** 这是一个反常积分，因为被积函数在 $x = 2$ 处有垂直渐近线。我们可以这样计算： \[ \int_{1}^{3} \frac{dx}{(x-2)^2} = \lim_{a \to 2^-} \int_{1}^{a} \frac{dx}{(x-2)^2} + \lim_{b \to 2^+} \int_{b}^{3} \frac{dx}{(x-2)^2}. \] 让我们计算第一部分： \[ \lim_{a \to 2^-} \int_{1}^{a} \frac{dx}{(x-2)^2} = \lim_{a \to 2^-} \left[ -\frac{1}{x-2} \right]_{1}^{a} = \lim_{a \to 2^-} \left( -\frac{1}{a-2} + \frac{1}{1-2} \right) = \lim_{a \to 2^-} \left( -\frac{1}{a-2} - 1 \right) = +\infty. \] 由于第一部分的极限是无穷大，积分发散。从分析中，我们看到只有积分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ 收敛。因此，收敛的积分数量是 1。答案是 $\boxed{D}$。

解析

本题考查反常积分的敛散性判断，解题思路是分别对每个反常积分进行分析，根据反常积分的定义将其转化为极限形式，再计算极限，若极限存在则积分收敛，若极限为无穷大则积分发散。

1. 分析积分$\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}$

这是一个上限为无穷大的反常积分，根据反常积分的定义，将其转化为极限形式：
$\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b \to +\infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x}}$
对$\int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x}}$进行计算，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
$\int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{b} x^{-\frac{1}{2}}dx=\left[ 2x^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{b}= 2\sqrt{b} - 2\sqrt{2}$
则$\lim_{b \to +\infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b \to +\infty} \left( 2\sqrt{b} - 2\sqrt{2} \right)= +\infty$
因为极限为无穷大，所以该积分发散。

2. 分析积分$\int_{1}^{\infty}e^{x}dx$

同样是上限为无穷大的反常积分，转化为极限形式：
$\int_{1}^{\infty}e^{x}dx=\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} e^{x}dx$
对$\int_{1}^{b} e^{x}dx$进行计算，根据积分公式$\int e^x dx=e^x+C$，可得：
$\int_{1}^{b} e^{x}dx=\left[ e^{x} \right]_{1}^{b}= e^{b} - e$
则$\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} e^{x}dx=\lim_{b \to +\infty} \left( e^{b} - e \right) = +\infty$
因为极限为无穷大，所以该积分发散。

3. 分析积分$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$

这是一个被积函数在$x = 0$处有垂直渐近线的反常积分，转化为极限形式：
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$
对$\int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$进行计算，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
$\int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{a}^{1} x^{-\frac{1}{2}}dx=\left[ 2x^{\frac{1}{2}} \right]_{a}^{1}= 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a}=2 - 2\sqrt{a}$
则$\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{a \to 0^+} \left( 2 - 2\sqrt{a} \right) = 2$
因为极限为有限数，所以该积分收敛。

4. 分析积分$\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x - 2)^2}$

这是一个被积函数在$x = 2$处有垂直渐近线的反常积分，需要将其拆分为两个极限形式：
$\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x - 2)^2}=\lim_{a \to 2^-} \int_{1}^{a} \frac{dx}{(x - 2)^2} + \lim_{b \to 2^+} \int_{b}^{3} \frac{dx}{(x - 2)^2}$
先计算$\lim_{a \to 2^-} \int_{1}^{a} \frac{dx}{(x - 2)^2}$，对$\int_{1}^{a} \frac{dx}{(x - 2)^2}$进行计算，令$u = x - 2$，则$du = dx$，当$x = 1$时，$u = -1$，当$x = a$时，$u = a - 2$，可得：
$\int_{1}^{a} \frac{dx}{(x - 2)^2}=\int_{-1}^{a - 2} \frac{du}{u^2}=\left[ -\frac{1}{u} \right]_{-1}^{a - 2}= -\frac{1}{a - 2} + 1$
则$\lim_{a \to 2^-} \int_{1}^{a} \frac{dx}{(x - 2)^2}=\lim_{a \to 2^-} \left( -\frac{1}{a - 2} + 1 \right) = +\infty$
因为其中一个极限为无穷大，所以该积分发散。

综上，只有积分$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}$收敛，收敛的积分数量是$1$个。