题目

用一千分尺(Delta_(千分尺)=pm0.004mm)测量某物体长度6次,其测量值为:4.298mm、4.296mm、4.288mm、4.290mm、4.293mm、4.295mm,则计算标准误差sigma_(z)的公式正确的是()A sigma_(z)=sqrt((1)/(n(n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.005(mm);B sigma_(z)=sqrt((1)/((n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.004(mm);C sigma_(z)=sqrt(sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.003(mm);D sigma_(z)=sqrt((1)/((n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))}=0.002(mm)。

用一千分尺($\Delta_{千分尺}=\pm0.004mm$)测量某物体长度6次,其测量值为:4.298mm、4.296mm、4.288mm、4.290mm、4.293mm、4.295mm,则计算标准误差$\sigma_{z}$的公式正确的是() A $\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.005(mm)$; B $\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.004(mm)$; C $\sigma_{z}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.003(mm)$; D $\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})}$=0.002(mm)。

题目解答

答案

根据题目数据，测量值平均值为： \[ \bar{L} = \frac{25.760}{6} = 4.293 \, \text{mm} \] 偏差平方和为： \[ \sum_{i=1}^{6} (L_i - \bar{L})^2 = 0.000072 \] 标准误差为： \[ \sigma_L = \sqrt{\frac{0.000072}{5}} = \sqrt{0.0000144} = 0.0038 \, \text{mm} \approx 0.004 \, \text{mm} \] 正确公式为： \[ \sigma_L = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (L_i - \bar{L})^2} \] 因此，选项 B 正确。 答案：B. $\sigma_L = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (L_i - \bar{L})^2} = 0.004 \, \text{mm}$

解析

本题考查测量数据处理中标准误差的计算及公式应用。解题思路是先明确标准误差的计算公式，再根据给定的测量数据计算出平均值、偏差平方和，最后代入公式计算标准误差，从而判断选项的正确性。

  1. 计算测量值的平均值$\overline{L}$：
    已知测量值$L_1 = 4.298mm$、$L_2 = 4.296mm$、$L_3 = 4.288mm$、$L_4 = 4.290mm$、$L_5 = 4.293mm$、$L_6 = 4.295mm$，测量次数$n = 6$。
    根据平均值公式$\overline{L}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}L_i$，可得：
    $\overline{L}=\frac{4.298 + 4.296 + 4.288 + 4.290 + 4.293 + 4.295}{6}=\frac{25.760}{6}=4.293mm$
  2. 计算偏差平方和$\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})^2$：
    $(L_1 - \overline{L})^2=(4.298 - 4.293)^2 = 0.005^2 = 0.000025$
    $(L_2 - \overline{L})^2=(4.296 - 4.293)^2 = 0.003^2 = 0.000009$
    $(L_3 - \overline{L})^2=(4.288 - 4.293)^2 = (-0.005)^2 = 0.000025$
    $(L_4 - \overline{L})^2=(4.290 - 4.293)^2 = (-0.003)^2 = 0.000009$
    $(L_5 - \overline{L})^2=(4.293 - 4.293)^2 = 0^2 = 0$
    $(L_6 - \overline{L})^2=(4.295 - 4.293)^2 = 0.002^2 = 0.000004$
    则$\sum_{i = 1}^{6}(L_i - \overline{L})^2=0.000025 + 0.000009 + 0.000025 + 0.000009 + 0 + 0.000004 = 0.000072$
  3. 计算标准误差$\sigma_{z}$：
    在测量数据处理中，当测量次数$n$较少时，标准误差的计算公式为$\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})^2}$。
    将$n = 6$，$\sum_{i = 1}^{6}(L_i - \overline{L})^2 = 0.000072$代入公式可得：
    $\sigma_{z}=\sqrt{\frac{0.000072}{6 - 1}}=\sqrt{\frac{0.000072}{5}}=\sqrt{0.0000144}=0.003795mm\approx0.004mm$
  4. 判断选项：
    • 选项A：公式$\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})^2}$错误，不符合标准误差计算公式。
    • 选项B：公式$\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})^2}$正确，且计算结果$0.004mm$与我们计算的结果相符。
    • 选项C：公式$\sigma_{z}=\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})^2}$错误，不符合标准误差计算公式。
    • 选项D：公式$\sigma_{z}=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(L_i - \overline{L})}$错误，标准误差公式中是偏差的平方和，而不是偏差和。