设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=} kcos x, & |x|leq(pi)/(2), 0, & |x|>(pi)/(2). 则 k 等于（ ）。A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. 0D. 1

本题考查概率密度函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解$k$的值。

已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases} k\cos x, & |x|\leq\frac{\pi}{2}, \\ 0, & |x|>\frac{\pi}{2}. \end{cases}$，根据概率密度函数的性质$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
因为当$\vert x\vert\gt\frac{\pi}{2}$时，$f(x)=0$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cos xdx$。
接下来计算定积分$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cos xdx$：

• 步骤一：根据定积分的性质$\int_{a}^{b}cf(x)dx = c\int_{a}^{b}f(x)dx$（$c$为常数），将$k$提出积分号外
  $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cos xdx = k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx$
• 步骤二：求$\cos x$的原函数
  根据求导公式$(\sin x)^\prime = \cos x$，可知$\cos x$的原函数为$\sin x$。
• 步骤三：根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx = F(b) - F(a)$（$F(x)$是$f(x)$的原函数）计算定积分
  $k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx = k[\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
  $=k(\sin\frac{\pi}{2}-\sin(-\frac{\pi}{2}))$
  因为$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$，所以$k(\sin\frac{\pi}{2}-\sin(-\frac{\pi}{2})) = k(1 - (-1)) = 2k$。
• 步骤四：求解$k$的值
  由$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，即$2k = 1$，解得$k = \frac{1}{2}$。