题目
长为l的匀质细杆,可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动,开始时静止于竖直位置.紧挨O点悬一单摆,轻质摆线的长度也是l,摆球质量为m.若单摆从水平位置由静止开始自由摆下,且摆球与细杆作完全弹性碰撞,碰撞后摆球正好静止.求:(1) 细杆的质量.(2) 细杆摆起的最大角度?.
长为l的匀质细杆,可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动,开始时静止于竖直位置.紧挨O点悬一单摆,轻质摆线的长度也是l,摆球质量为m.若单摆从水平位置由静止开始自由摆下,且摆球与细杆作完全弹性碰撞,碰撞后摆球正好静止.求:
(1) 细杆的质量.
(2) 细杆摆起的最大角度?.
题目解答
答案
解:(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v ,碰后细杆角速度为?,系统角动量守恒
得: J? = mvl
由于是弹性碰撞,所以单摆的动能变为细杆的转动动能
代入J=
,由上述两式可得 M=3m
(2) 由机械能守恒式
及 
并利用(1) 中所求得的关系可得 
四 研讨题
解析
步骤 1：单摆的初始动能
单摆从水平位置由静止开始自由摆下，到达竖直位置时，其势能完全转化为动能。设单摆的摆球质量为m，摆线长度为l，单摆的初始势能为mgl，因此单摆到达竖直位置时的动能为$\dfrac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgl$，从而得到$v_{0}=\sqrt{2gl}$。
步骤 2：碰撞过程中的角动量守恒
设细杆的质量为M，细杆的转动惯量为$J=\dfrac{1}{3}Ml^{2}$。单摆与细杆碰撞时，单摆的线速度为$v_{0}$，细杆的角速度为$\omega$。由于碰撞是完全弹性的，且碰撞后摆球静止，因此碰撞过程中角动量守恒，即$mvl=J\omega$。代入$v_{0}=\sqrt{2gl}$，得到$m\sqrt{2gl}l=\dfrac{1}{3}Ml^{2}\omega$，从而得到$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$。
步骤 3：碰撞过程中的能量守恒
碰撞过程中，单摆的动能完全转化为细杆的转动动能，即$\dfrac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\dfrac{1}{2}J\omega^{2}$。代入$v_{0}=\sqrt{2gl}$和$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$，得到$\dfrac{1}{2}m(2gl)=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}Ml^{2}(\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml})^{2}$，从而得到$M=3m$。
步骤 4：细杆摆起的最大角度
细杆摆起的最大角度时，细杆的转动动能完全转化为势能。设细杆摆起的最大角度为$\theta$，则细杆的转动动能为$\dfrac{1}{2}J\omega^{2}$，细杆的势能为$Mgl(1-\cos\theta)$。由于碰撞过程中能量守恒，因此$\dfrac{1}{2}J\omega^{2}=Mgl(1-\cos\theta)$。代入$J=\dfrac{1}{3}Ml^{2}$和$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$，得到$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}Ml^{2}(\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml})^{2}=Mgl(1-\cos\theta)$，从而得到$\theta=\arccos\dfrac{1}{3}$。
单摆从水平位置由静止开始自由摆下，到达竖直位置时，其势能完全转化为动能。设单摆的摆球质量为m，摆线长度为l，单摆的初始势能为mgl，因此单摆到达竖直位置时的动能为$\dfrac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgl$，从而得到$v_{0}=\sqrt{2gl}$。
步骤 2：碰撞过程中的角动量守恒
设细杆的质量为M，细杆的转动惯量为$J=\dfrac{1}{3}Ml^{2}$。单摆与细杆碰撞时，单摆的线速度为$v_{0}$，细杆的角速度为$\omega$。由于碰撞是完全弹性的，且碰撞后摆球静止，因此碰撞过程中角动量守恒，即$mvl=J\omega$。代入$v_{0}=\sqrt{2gl}$，得到$m\sqrt{2gl}l=\dfrac{1}{3}Ml^{2}\omega$，从而得到$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$。
步骤 3：碰撞过程中的能量守恒
碰撞过程中，单摆的动能完全转化为细杆的转动动能，即$\dfrac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\dfrac{1}{2}J\omega^{2}$。代入$v_{0}=\sqrt{2gl}$和$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$，得到$\dfrac{1}{2}m(2gl)=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}Ml^{2}(\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml})^{2}$，从而得到$M=3m$。
步骤 4：细杆摆起的最大角度
细杆摆起的最大角度时，细杆的转动动能完全转化为势能。设细杆摆起的最大角度为$\theta$，则细杆的转动动能为$\dfrac{1}{2}J\omega^{2}$，细杆的势能为$Mgl(1-\cos\theta)$。由于碰撞过程中能量守恒，因此$\dfrac{1}{2}J\omega^{2}=Mgl(1-\cos\theta)$。代入$J=\dfrac{1}{3}Ml^{2}$和$\omega=\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml}$，得到$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}Ml^{2}(\dfrac{3m\sqrt{2gl}}{Ml})^{2}=Mgl(1-\cos\theta)$，从而得到$\theta=\arccos\dfrac{1}{3}$。