(8)如图所示为两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形,由图-|||-可知x方向和y方向两振动的频率之比 _(x):(V)_(y)= __-|||-.32-3 一质点作简谐振动,其振动方程为-|||-.=6.0times (10)^-2cos (dfrac (1)(3)pi t-dfrac (1)(4)pi ) (SI单位)-|||-y↑-|||--x-|||-题 32-2(8) 图-|||-(1)当x值为多大时,系统的势能为总能量的一半?-|||-(2)质点从平衡位置移动到上述位置时所需最短时间为多少?-|||-解:
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查简谐振动的总能量与势能的关系，以及振动相位与时间的对应关系。
解题思路：
- 第一问：利用简谐振动中势能与总能量的关系式，结合振幅求出位移值。
- 第二问：通过振动方程确定质点经过平衡位置的时刻，再结合相位变化求出到达目标位置的最短时间。
关键点：
- 势能与总能量的关系：当势能为总能量的一半时，位移为振幅的$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍。
- 平衡位置的判定：质点经过平衡位置时位移为零，速度最大。
- 相位方程求解：通过余弦函数的相位关系解方程，确定时间。
第（1）题
总能量与势能关系
简谐振动的总能量为$E = \frac{1}{2}kA^2$，势能为$E_p = \frac{1}{2}kx^2$。当$E_p = \frac{1}{2}E$时：
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}kA^2 \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
代入振幅
题目中振幅$A = 6.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$，因此：
$x = \pm \frac{6.0 \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} \approx \pm 4.24 \times 10^{-2} \, \text{m}$
第（2）题
确定平衡位置时刻
质点经过平衡位置时位移为零，解方程$x = 0$：
$\cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies \frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
取$k=0$得第一次经过平衡位置的时刻：
$t = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} = 2.25 \, \text{s}$
求到达目标位置的时间
目标位置$x = -4.24 \times 10^{-2} \, \text{m}$对应：
$\cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
解得：
$\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \implies t = 3 \, \text{s}$
最短时间为：
$3 \, \text{s} - 2.25 \, \text{s} = 0.75 \, \text{s}$