题目
一轻弹簧在60N的拉力下伸长60cm。现把质量为5kg的物体悬挂在该弹簧下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，并取向下为正方向。求：（1）物体的振动方程；（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
一轻弹簧在60N的拉力下伸长60cm。现把质量为5kg的物体悬挂在该弹簧下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，并取向下为正方向。求：
（1）物体的振动方程；
（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；
（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
（1）物体的振动方程；
（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；
（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
题目解答
答案
解：（1）轻弹簧在F=60N的拉力下伸长Δx=60cm=0.6m，根据胡克定律可知
k=$\frac{F}{Δx}$
再把物体向下拉10cm，则物体的振幅为A=10cm=0.1m，振动周期为T=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
则角频率ω=$\frac{2π}{T}$
解得ω=2$\sqrt{5}$rad/s
设振动方程为x=Asin（ωt+φ）
以向下为正，当t=0时，x=0.1m，所以φ=$\frac{π}{2}$，则振动方程为
x=0.1sin（2$\sqrt{5}$t+$\frac{π}{2}$）
（2）物体在平衡位置时有mg=kl
解得l=0.05m=5cm
物体在平衡位置上方5cm时，弹簧的伸长量为0，此时弹簧对物体的拉力为0；
（3）物体第一次经过平衡位置时有
ωt1+$\frac{π}{2}$=π
解得
t1=$\frac{\sqrt{5}}{20}$πs
物体第一次运动到上方5cm处所需要的时间为t2，则有
-0.05m=0.1sin（2$\sqrt{5}$t2+$\frac{π}{2}$）
解得t2=$\frac{\sqrt{5}}{15}$πs
物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为t=t2-t1=$\frac{\sqrt{5}}{15}$πs-$\frac{\sqrt{5}}{20}$πs=$\frac{\sqrt{5}}{60}$πs
答：（1）物体的振动方程为x=0.1sin（2$\sqrt{5}$t+$\frac{π}{2}$）；
（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力为0；
（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为$\frac{\sqrt{5}}{60}$πs。
k=$\frac{F}{Δx}$
再把物体向下拉10cm，则物体的振幅为A=10cm=0.1m，振动周期为T=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
则角频率ω=$\frac{2π}{T}$
解得ω=2$\sqrt{5}$rad/s
设振动方程为x=Asin（ωt+φ）
以向下为正，当t=0时，x=0.1m，所以φ=$\frac{π}{2}$，则振动方程为
x=0.1sin（2$\sqrt{5}$t+$\frac{π}{2}$）
（2）物体在平衡位置时有mg=kl
解得l=0.05m=5cm
物体在平衡位置上方5cm时，弹簧的伸长量为0，此时弹簧对物体的拉力为0；
（3）物体第一次经过平衡位置时有
ωt1+$\frac{π}{2}$=π
解得
t1=$\frac{\sqrt{5}}{20}$πs
物体第一次运动到上方5cm处所需要的时间为t2，则有
-0.05m=0.1sin（2$\sqrt{5}$t2+$\frac{π}{2}$）
解得t2=$\frac{\sqrt{5}}{15}$πs
物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为t=t2-t1=$\frac{\sqrt{5}}{15}$πs-$\frac{\sqrt{5}}{20}$πs=$\frac{\sqrt{5}}{60}$πs
答：（1）物体的振动方程为x=0.1sin（2$\sqrt{5}$t+$\frac{π}{2}$）；
（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力为0；
（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为$\frac{\sqrt{5}}{60}$πs。
解析
步骤 1：计算弹簧的劲度系数
根据胡克定律，弹簧的劲度系数k可以通过力F和伸长量Δx计算得出。已知F=60N，Δx=60cm=0.6m，因此
\[ k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{60N}{0.6m} = 100N/m \]
步骤 2：确定物体的振动方程
物体的振动方程可以表示为x=Asin(ωt+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。已知物体向下拉10cm，即振幅A=10cm=0.1m。角频率ω可以通过周期T计算得出，而周期T=2π√(m/k)，其中m是物体的质量，k是弹簧的劲度系数。因此
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi\sqrt{\frac{100N/m}{5kg}} = 2\sqrt{5}rad/s \]
当t=0时，x=0.1m，因此φ=π/2。所以振动方程为
\[ x = 0.1sin(2\sqrt{5}t + \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：计算物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力
物体在平衡位置时，弹簧的伸长量为l=mg/k，其中m是物体的质量，g是重力加速度，k是弹簧的劲度系数。因此
\[ l = \frac{mg}{k} = \frac{5kg \times 9.8m/s^2}{100N/m} = 0.05m = 5cm \]
物体在平衡位置上方5cm时，弹簧的伸长量为0，因此弹簧对物体的拉力为0。
步骤 4：计算物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间
物体第一次经过平衡位置时，有ωt_1+φ=π，因此
\[ t_1 = \frac{\pi - \phi}{\omega} = \frac{\pi - \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{20}\pi s \]
物体第一次运动到上方5cm处所需要的时间为t_2，则有
\[ -0.05m = 0.1sin(2\sqrt{5}t_2 + \frac{\pi}{2}) \]
解得
\[ t_2 = \frac{\sqrt{5}}{15}\pi s \]
因此物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为
\[ t = t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{5}}{15}\pi s - \frac{\sqrt{5}}{20}\pi s = \frac{\sqrt{5}}{60}\pi s \]
根据胡克定律，弹簧的劲度系数k可以通过力F和伸长量Δx计算得出。已知F=60N，Δx=60cm=0.6m，因此
\[ k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{60N}{0.6m} = 100N/m \]
步骤 2：确定物体的振动方程
物体的振动方程可以表示为x=Asin(ωt+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。已知物体向下拉10cm，即振幅A=10cm=0.1m。角频率ω可以通过周期T计算得出，而周期T=2π√(m/k)，其中m是物体的质量，k是弹簧的劲度系数。因此
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi\sqrt{\frac{100N/m}{5kg}} = 2\sqrt{5}rad/s \]
当t=0时，x=0.1m，因此φ=π/2。所以振动方程为
\[ x = 0.1sin(2\sqrt{5}t + \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：计算物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力
物体在平衡位置时，弹簧的伸长量为l=mg/k，其中m是物体的质量，g是重力加速度，k是弹簧的劲度系数。因此
\[ l = \frac{mg}{k} = \frac{5kg \times 9.8m/s^2}{100N/m} = 0.05m = 5cm \]
物体在平衡位置上方5cm时，弹簧的伸长量为0，因此弹簧对物体的拉力为0。
步骤 4：计算物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间
物体第一次经过平衡位置时，有ωt_1+φ=π，因此
\[ t_1 = \frac{\pi - \phi}{\omega} = \frac{\pi - \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{20}\pi s \]
物体第一次运动到上方5cm处所需要的时间为t_2，则有
\[ -0.05m = 0.1sin(2\sqrt{5}t_2 + \frac{\pi}{2}) \]
解得
\[ t_2 = \frac{\sqrt{5}}{15}\pi s \]
因此物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间为
\[ t = t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{5}}{15}\pi s - \frac{\sqrt{5}}{20}\pi s = \frac{\sqrt{5}}{60}\pi s \]