设 vec(A)=(x^2-y^2,y^2-2xy,z^2+3)，则下列错误的是(）.A. vec(A) 为保守场B. vec(A) 为无源场C. vec(A) 为无旋场D. vec(A) 为有势场

本题主要考查向量场的保守场、无源场、无旋场和有势场的相关知识。解题的关键在于分别计算向量场 $\vec{A}$ 的散度和旋度，再根据散度和旋度的性质来判断向量场的类型。

1. 明确相关概念

• 保守场：若向量场 $\vec{A}$ 满足 $\nabla\times\vec{A}=\vec{0}$，则称 $\vec{A}$ 为无旋场，无旋场一定是保守场。
• 无源场：若向量场 $\vec{A}$ 满足 $\nabla\cdot\vec{A}=0$，则称 $\vec{A}$ 为无源场。
• 有势场：保守场一定是有势场，即存在一个标量函数 $u$，使得 $\vec{A}=\nabla u$。

2. 计算向量场 $\vec{A}$ 的散度 $\nabla\cdot\vec{A}$

已知 $\vec{A}=(x^2 - y^2, y^2 - 2xy, z^2 + 3)$，根据散度的计算公式 $\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$，其中 $A_x = x^2 - y^2$，$A_y = y^2 - 2xy$，$A_z = z^2 + 3$。

• 计算 $\frac{\partial A_x}{\partial x}$：
  对 $A_x = x^2 - y^2$ 关于 $x$ 求偏导数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得 $\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial x}=2x$。
• 计算 $\frac{\partial A_y}{\partial y}$：
  对 $A_y = y^2 - 2xy$ 关于 $y$ 求偏导数，可得 $\frac{\partial A_y}{\partial y}=\frac{\partial (y^2 - 2xy)}{\partial y}=2y - 2x$。
• 计算 $\frac{\partial A_z}{\partial z}$：
  对 $A_z = z^2 + 3$ 关于 $z$ 求偏导数，可得 $\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{\partial (z^2 + 3)}{\partial z}=2z$。
• 计算散度 $\nabla\cdot\vec{A}$：
  将上述结果代入散度公式，可得 $\nabla\cdot\vec{A}=2x + (2y - 2x) + 2z = 2y + 2z\neq 0$，所以 $\vec{A}$ 不是无源场。

3. 计算向量场 $\vec{A}$ 的旋度 $\nabla\times\vec{A}$

根据旋度的计算公式 $\nabla\times\vec{A}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\A_x & A_y & A_z\end{vmatrix}$，其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴的单位向量。

• 计算 $\vec{i}$ 分量：
  $\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{i}=\left(\frac{\partial (z^2 + 3)}{\partial y}-\frac{\partial (y^2 - 2xy)}{\partial z}\right)\vec{i}=(0 - 0)\vec{i}=0$。
• 计算 $\vec{j}$ 分量：
  $\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{j}=\left(\frac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial z}-\frac{\partial (z^2 + 3)}{\partial x}\right)\vec{j}=(0 - 0)\vec{j}=0$。
• 计算 $\vec{k}$ 分量：
  $\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{k}=\left(\frac{\partial (y^2 - 2xy)}{\partial x}-\frac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial y}\right)\vec{k}=(-2y - (-2y))\vec{k}=0$。
  所以 $\nabla\times\vec{A}=\vec{0}$，即 $\vec{A}$ 是无旋场。

4. 判断向量场 $\vec{A}$ 是否为保守场和有势场

由于 $\vec{A}$ 是无旋场，根据无旋场一定是保守场，可知 $\vec{A}$ 是保守场。又因为保守场一定是有势场，所以 $\vec{A}$ 是有势场。