7-66 一平行板空气电容器,每块极板的面积 =3times (10)^-2(m)^2 ,极板间的距离 _(1)=3x-|||-^-3m ,在平行板之间有一个厚度为 _(2)=1times (10)^-3m 与地绝缘的平行铜板,当电容器充电到电-|||-势差为300V后与电源断开,再把铜板从电容器中抽出.问:(1)电容器内电场强度是否变-|||-化?(2)抽出铜板外界需做多少功?
题目解答
答案
解析
考察知识
平行板电容器的电容公式、电场强度与电势差的关系、静电场能量公式，以及静电场力做功与能量变化的关系。
解题思路
（1）电容器内电场强度是否变化？
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初始状态分析：
电容器充电后与电源断开，极板电荷量 $Q$ 保持不变。
平行板间插入厚度为 $d_2$ 的铜板（导体），静电平衡时铜板内电场为0，电荷在铜板两面感应出 $+Q$ 和 $-Q$。
极板间空气间隙分为两段：$d_1 - d_2 = 2 \times 10^{-3}\, \text{m} \$（设为 $d$），每段内电场 $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$（$\sigma$ 为极板自由电荷电荷面密度）。
总电势差 $U = E \cdot d = \frac{Q d}{\varepsilon_0 S} \cdot (d_1 - d_2)$，解得 $E = \frac{Q}{\varepsilon_0 S (d_1 - d_2)} = \frac{U}{\varepsilon_0 (d_1 - d_2)}$。 -
抽出铜板后分析：
抽出铜板后，极板间距变为 $d_1 = 3 \times 10^{-3\, \text{m}$，但电荷量 $Q$ 仍不变，电场 $E' = \frac{\sigma}{\varepsilon_} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$，与抽出前的 $E$ 相等（因 $Q/\varepsilon_0 S$ 不变）。
代入数据：$E = \frac{300\,\text{V}}{2 \times 10^{-3}\,\text{m}} = 1.5 \times 10^5\,\text{V/m}$，故电场强度不变。
（2）抽出铜板外界需做多少功？
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能量变化法：
外界做功等于电容器能量增量 $\Delta W = W_2 - W_1$。- 初始能量 $W_1 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C_1}$，初始电容 $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 - d_2}$（铜板等效于空气层 $d_1 - d_2$）。
最终能量 $W_2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C_2}$，最终电容 $C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1}$。 - 能量增量：$\Delta W = \frac{Q^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 S E^2 (d_1 - (d_1 - d_2)) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 S E^2 d_2$。
- 初始能量 $W_1 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C_1}$，初始电容 $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 - d_2}$（铜板等效于空气层 $d_1 - d_2$）。
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代入数据计算：
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$，$S = 3 \times 10^{-2}\,\text{m}^2$，$E = 1.5 \times 10^5\,\text{V/m}$，$d_2 = 1 \times 10^{-3}\,\text{m}$：
[
\Delta W = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^{-2} \times (1.5 \times 10^5)^2 \times 1 \times 10^{-3} \approx 3.0 \times 10^{-6}\,\text{J}