题目
7.14 一平面简谐波沿x正向传播,如图7.45所示,振幅-|||-为A,频率为v,传播速度为u。-|||-(1) t=0 时,在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向-|||-运动,试写出此波的波函数;-|||-(2)若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等,试-|||-写出反射波的波函数,并求在x轴上因入射波和反射波叠加而-|||-静止的各点的位置。-|||-波疏 波密-|||-u-|||-O P-|||-x-|||-3λ-|||-4 反射面-|||-分界面-|||-图7,45 习题7.14用图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定入射波的波函数
根据题意，入射波沿x正向传播，振幅为A，频率为v，传播速度为u。t=0时，原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动。因此，波函数的初相位为$-\frac{\pi}{2}$。入射波的波函数可以表示为：
\[ y_1 = A \cos(2\pi vt - \frac{2\pi v}{u}x - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 2：确定反射波的波函数
反射波的振幅和入射波的振幅相等，因此反射波的振幅也为A。反射波沿x负向传播，因此波函数中的x项符号相反。反射波的波函数可以表示为：
\[ y_2 = A \cos(2\pi vt + \frac{2\pi v}{u}x - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：确定波节的位置
波节是入射波和反射波叠加后静止的点。波节的位置满足入射波和反射波的相位差为$\pi$的整数倍。因此，波节的位置满足：
\[ \frac{2\pi v}{u}x = n\pi \]
其中n为整数。解得：
\[ x = \frac{nu}{2v} \]
根据题意，入射波沿x正向传播，振幅为A，频率为v，传播速度为u。t=0时，原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动。因此，波函数的初相位为$-\frac{\pi}{2}$。入射波的波函数可以表示为：
\[ y_1 = A \cos(2\pi vt - \frac{2\pi v}{u}x - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 2：确定反射波的波函数
反射波的振幅和入射波的振幅相等，因此反射波的振幅也为A。反射波沿x负向传播，因此波函数中的x项符号相反。反射波的波函数可以表示为：
\[ y_2 = A \cos(2\pi vt + \frac{2\pi v}{u}x - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：确定波节的位置
波节是入射波和反射波叠加后静止的点。波节的位置满足入射波和反射波的相位差为$\pi$的整数倍。因此，波节的位置满足：
\[ \frac{2\pi v}{u}x = n\pi \]
其中n为整数。解得：
\[ x = \frac{nu}{2v} \]