[例5.43](2010年数学三;4分)设位于曲线 =dfrac (1)(sqrt {x(1+{ln )^2x)}}(eleqslant xlt +infty ) 下方,-|||-x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为 __ .

考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，涉及定积分的计算及变量替换法的应用。

解题核心思路：

1. 旋转体体积公式：绕x轴旋转的体积公式为 $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx$。
2. 积分处理：将题目中的函数代入公式，通过变量替换简化积分。
3. 积分上下限转换：注意原函数定义域为 $x \geq e$，积分上限为正无穷。

破题关键点：

• 变量替换：令 $u = \ln x$，将积分转化为关于 $u$ 的有理函数积分，简化计算。
• 积分结果分析：利用 $\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$，结合上下限计算最终结果。

步骤1：应用旋转体体积公式
根据绕x轴旋转的体积公式，体积为：
$V = \pi \int_{e}^{+\infty} y^2 \, dx$
将 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x(1+(\ln x)^2)}}$ 代入，得：
$V = \pi \int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(1+(\ln x)^2)} \, dx$

步骤2：变量替换简化积分
令 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x} dx$，即 $dx = x \, du = e^u \, du$。
当 $x = e$ 时，$u = 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$u \to +\infty$。
积分变为：
$V = \pi \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du$

步骤3：计算定积分
利用基本积分公式 $\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$，得：
$V = \pi \left[ \arctan u \right]_{1}^{+\infty}$
代入上下限：
$V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi^2}{4}$